Exercise:
Zwei Kondensatoren sind in Serie geschaltet. Ein dritter liegt parallel zu den beiden ersten. Die Gesamtkapazität dieser Anordnung beträgt .micro F. Lässt man den zweiten weg so ist die Gesamtkapazität .micro F; lässt man hingegen den ersten weg so ist sie .micro F. Wie gross sind die drei Einzelkapazitäten?

Solution:
Nennen wir die ersten beiden Kapazitäten C_ und C_. Die Kapazität der Serieschaltung -- nennen wir sie C_S -- ist dann fracC_S fracC_ + fracC_ C_S fracC_C_C_+C_ . Dazu parallel liegt ein dritter Kondensator die Ersatzkapazität der ganzen Schaltung ist daher CErs C_S + C_ fracC_C_C_+C_+ C_ labelgleichung_ &mustbe pq.mu F labelgleichung_ . Ist der zweite Kondensator kurzgeschlossen so tun als ob er nicht da wäre dann sind einfach der erste und der dritte parallel geschaltet. Die Kapazität ist in dem Fall tilde C C_ + C_ &mustbe pqmu Flabelgleichung_. Wird der erste kurzgeschlossen führt das mit analoger Argumentation auf hat C C_ + C_ &mustbe pqmu Flabelgleichung_. Nun haben wir ein Gleichungssystem mit Gleichungen -- refgleichung_ refgleichung_ sowie refgleichung_ -- und Unbekannten; C_ C_ und C_. Wir lösen nun refgleichung_ nach C_ auf und setzen das in refgleichung_ ein. Das führt auf C_ hat C - C_ quad rightarrow mboxeinsetzen in refgleichung_ labelgleichung_ C_ + hat C - C_ tilde C quad mboxbzw. C_-C_ tilde C - hat C quad mboxoder C_ C_ + hat C - tilde C. Dieses Resultat können wir nun in refgleichung_ einsetzen; wir erhalten CErs fracC_C_C_+C_+ C_ fracC_C_C_+C_+ hat C - C_ fracC_C_ + hat C - tilde CC_+C_ + hat C - tilde C+ tilde C - C_ fracC_C_ + hat C - tilde CC_ + hat C - tilde C+ tilde C- CErs - C_. Das gibt eine quadratische Gleichung in C_. Zur besseren Übersicht führen wir die Substitutionen al C' hat C - tilde C .micro F C'' tilde C - CErs .micro F ein und lösen die Gleichung nach C_ auf: al fracC_C_ + C'C_ + hat C+ C'' - C_ C_^ + C_C' + C''C_ + C'C'' - C_^ - C'C_ -C_^ + C''C_ + C'C'' C_ frac-C''pm sqrtC''^+C'C''- C''mp sqrtC''^+C'C'' .micro F mp sqrtqty.micro F^ + .micro F .micro F C_^- -.micro F rightarrow C_^+ .micro F. Nur die positive Lösung ist physikalisch sinnvoll. Die übrigen Kapazitäten sind al C_ tilde C - C_ .micro F - .micro F .micro F C_ hat C - C_ .micro F - .micro F .micro F.