Exercise:
Die Wellenfunktion für den Grundzustand eines Wassertoffatoms ist psi_r frace^-r/a_pi a_^/ abcliste abc Zeigen Sie dass psi_ normalisiert ist d.h. dass gilt _V |psi_r|^ r^ textrmdV abc Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte für eine kugelsymmetrische Wellenfunktion ist Pr pi r^ |psi_r|^ Berechnen Sie den Radius mit der grössten Wahrscheinlichkeitsdichte. abc Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für den Abstand des Elektrons im Grundzustand. Der Abstandoperator hat r ist durch seine Wirkung auf die Wellenfunktion definiert: hat r psi_r r psi_r abcliste

Solution:
abcliste abc _V |psi_r| r^ textrmdV pi^_^infty |frace^-r/a_pi a_^/|^ r^ textrmdr fracpi^pi^ a_^ _^infty r^ lefte^-r/a_right textrmdr fraca_^frac a_^ quad square wo der allgemeine Ausdruck für das egral I'_n _^infty r^n lefte^-r/aright^ textrmdr fracn! a^n+^n+ für n verwet wurde siehe Aufgaben. abc Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte im Grundzustand ist Pr pi r^ |psi_r|^ fracpi r^pi^ a_^ e^-r/a_ fraca_^ r^ e^-r/a_ Dieser Ausdruck hat Extremalpunkte für P'r Longrightarrow fractextrmdtextrmdrleftr^ e^-r/a_right r e^-r/a_ - r^ e^-r/a_-/a_ e^-r/a_leftr-fracr^a_right Longrightarrow r r-a_ Longrightarrow r quad textrmor quad r a_ Die Lösung r ist ein Minimum psi_ ra_ ist das gesuchte Maximum. Es folgt dass der bohrsche Radius a_ im Grundzustand der Radius mit der höchsten Wahrscheinlichkeit ist. abc Der Erwartungswert für den Abstand ist langle hat r rangle _V psi^*_r r psi_r r^ textrmdV pi^ _^infty |psi_r|^ r r^ textrmdr fracpi^pi^ a_^ _^infty e^-r/a_ r^ textrmdr fraca_^ frac a_^^ fraca_ Der Erwartungswert entspricht dem /-fachen des bohrschen Radius. vspacemm Der Erwartungswert für das Quadrat des Abstands kann analog berechnet werden: langle hat r^ rangle _V psi^*_r r^ psi_r r^ textrmdV pi^ _^infty |psi_r|^ r^ r^ textrmdr fracpi^pi^ a_^ _^infty e^-r/a_ r^ textrmdr fraca_^ frac a_^ a_^ Es folgt für die Standardabweichung sigma sqrtlangle hat r^ rangllangle hat r rangle^ sqrt a_^-leftfrac a_right^ sqrtfraca_^ fracsqrt a_ abcliste Mit dem verlinkten Mathematica-Dokument kann die Berechnung überprüft oder auf andere Energieniveaus erweitert werden.