Endgeschwindigkeiten von kollidierenden Klötzen
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
Need help? Yes, please!
The following quantities appear in the problem:
Masse \(m\) / Energie \(E\) / Geschwindigkeit \(v\) / Impuls \(p\) /
The following formulas must be used to solve the exercise:
\(\sum E_{\scriptscriptstyle\rm tot} \stackrel{!}{=} \sum E_{\scriptscriptstyle\rm tot}' \quad \) \(p = mv \quad \) \(\sum p_{\scriptscriptstyle\rm tot} \stackrel{!}{=} \sum p_{\scriptscriptstyle\rm tot}' \quad \)
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Exercise:
Ein Klotz von kg der sich mit meterpersecond nach rechts bewegt stosse elastisch auf einen Klotz von kg der sich mit meterpersecond nach rechts bewegt. Mit welchen Geschwindigkeiten bewegen sich die beiden Klötze nach dem Stoss?
Solution:
newqtymkg newqtyv newqtynkg newqtyw Wir wen die Formeln für den elastischen Zweikörperstoss verlangte Herleitung siehe unten an. Damit sind die Geschwindigkeiten nach dem Stoss solqtyvvfracqtym_-m_v_ + m_v_m_+m_mn - nn*vn + *nn*wn/mn+nn alv_' vvf fracqtym-n v + n wm + n vvI und solqtywwfracqtym_-m_v_ + m_v_m_+m_nn - mn*wn + *mn*vn/nn+mn alv_' wwf fracqtyn-m w + m vn + m wwI. % Beim elastischen Stoss gilt Energi und Impulserhaltung. EnergieSchritte PGleichungEtot &mustbe Etot' PGleichungsscEkin + sscEkin sscEkin' + sscEkin' PGleichungfracm_v_^ + fracm_v_^ fracm_v_'^ + fracm_v_'^ PHYS % ImpulsSchritte PGleichungp_ + p_ p_' + p_' PGleichungm_v_ + m_v_ m_v_' + m_v_' PHYS % Die unteren beiden Gleichungen der beiden Boxen bilden ein Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten v_' und v_'. Wir stellen beide Gleichungen so um dass alle Grössen des ersten Stosspartners links alle des zweiten rechts vom Gleichheitszeichen stehen. Danach dividieren wir die EnergiGleichung durch die Impuls-Gleichung und lösen nach v_' auf: % m_v_^ - v_'^ m_v_'^-v_^ m_v_ - v_' m_v_' - v_ v_ + v_' v_' + v_ labeleq:v v_' v_+v_'-v_. % Dieses Resultat setzen wir wiederum in die Impuls-Gleichung ein und lösen nach v_' auf. al m_v_ + m_v_ m_v_' + m_v_' m_v_ + m_v_ m_v_' + m_v_+v_'-v_ % AlgebraSchritte MGleichungm_v_ + m_v_ m_v_' + m_v_+m_v_'-m_v_ MGleichungm_v_' + m_v_' m_v_ + m_v_ -m_v_ MGleichungm_+m_v_' qtym_-m_v_ + m_v_ MGleichungv_' fracqtym_-m_v_ + m_v_m_+m_ MATH Das gleiche kann man für v_' machen. Dazu löst man die Gleichung eqrefeq:v einfach nach v_' auf und ersetzt dann v_' in der Impuls-Gleichung.
Ein Klotz von kg der sich mit meterpersecond nach rechts bewegt stosse elastisch auf einen Klotz von kg der sich mit meterpersecond nach rechts bewegt. Mit welchen Geschwindigkeiten bewegen sich die beiden Klötze nach dem Stoss?
Solution:
newqtymkg newqtyv newqtynkg newqtyw Wir wen die Formeln für den elastischen Zweikörperstoss verlangte Herleitung siehe unten an. Damit sind die Geschwindigkeiten nach dem Stoss solqtyvvfracqtym_-m_v_ + m_v_m_+m_mn - nn*vn + *nn*wn/mn+nn alv_' vvf fracqtym-n v + n wm + n vvI und solqtywwfracqtym_-m_v_ + m_v_m_+m_nn - mn*wn + *mn*vn/nn+mn alv_' wwf fracqtyn-m w + m vn + m wwI. % Beim elastischen Stoss gilt Energi und Impulserhaltung. EnergieSchritte PGleichungEtot &mustbe Etot' PGleichungsscEkin + sscEkin sscEkin' + sscEkin' PGleichungfracm_v_^ + fracm_v_^ fracm_v_'^ + fracm_v_'^ PHYS % ImpulsSchritte PGleichungp_ + p_ p_' + p_' PGleichungm_v_ + m_v_ m_v_' + m_v_' PHYS % Die unteren beiden Gleichungen der beiden Boxen bilden ein Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten v_' und v_'. Wir stellen beide Gleichungen so um dass alle Grössen des ersten Stosspartners links alle des zweiten rechts vom Gleichheitszeichen stehen. Danach dividieren wir die EnergiGleichung durch die Impuls-Gleichung und lösen nach v_' auf: % m_v_^ - v_'^ m_v_'^-v_^ m_v_ - v_' m_v_' - v_ v_ + v_' v_' + v_ labeleq:v v_' v_+v_'-v_. % Dieses Resultat setzen wir wiederum in die Impuls-Gleichung ein und lösen nach v_' auf. al m_v_ + m_v_ m_v_' + m_v_' m_v_ + m_v_ m_v_' + m_v_+v_'-v_ % AlgebraSchritte MGleichungm_v_ + m_v_ m_v_' + m_v_+m_v_'-m_v_ MGleichungm_v_' + m_v_' m_v_ + m_v_ -m_v_ MGleichungm_+m_v_' qtym_-m_v_ + m_v_ MGleichungv_' fracqtym_-m_v_ + m_v_m_+m_ MATH Das gleiche kann man für v_' machen. Dazu löst man die Gleichung eqrefeq:v einfach nach v_' auf und ersetzt dann v_' in der Impuls-Gleichung.