Exercise:
Zeige aus den Maxwell-Gleichungen im Vakuum dass elektromagnetische Felder einem Energieerhaltungssatz gehorchen: fracpartial wpartial t + nabla vecS quadtextmitquad w frac varepsilon_ E^ + frac fracB^mu_ quad vecS fracmu_ vecE times vecB Diese Gleichung stellt den Energieerhaltungssatz für elektromagnetische Felder dar.

Solution:
Wir nen mit den Maxwell-Gleichungen im Vakuum: * nabla vecE nabla vecB nabla times vecE -fracpartial vecBpartial t nabla times vecB mu_ varepsilon_ fracpartial vecEpartial t * Wir betrachten das Skalarprodukt von vecE mit der vierten Gleichung: * vecE nabla times vecB mu_ varepsilon_ vecE fracpartial vecEpartial t * und das Skalarprodukt von vecB mit der dritten Gleichung: * vecB nabla times vecE - vecB fracpartial vecBpartial t * Nun subtrahieren wir die beiden Gleichungen: * vecE nabla times vecB - vecB nabla times vecE mu_ varepsilon_ vecE fracpartial vecEpartial t + vecB fracpartial vecBpartial t * Auf der linken Seite steht nach einer Vektoridentität: nabla vecE times vecB vecB nabla times vecE - vecE nabla times vecB - left vecE nabla times vecB - vecB nabla times vecE right Somit ergibt sich: nabla vecE times vecB - mu_ varepsilon_ vecE fracpartial vecEpartial t - vecB fracpartial vecBpartial t Nun erkennen wir: vecE fracpartial vecEpartial t frac fracpartialpartial t E^ quad vecB fracpartial vecBpartial t frac fracpartialpartial t B^ Einsetzen ergibt: nabla vecE times vecB - frac mu_ varepsilon_ fracpartial E^partial t - frac fracpartial B^partial t Multiplizieren mit fracmu_ : fracmu_ nabla vecE times vecB - frac varepsilon_ fracpartial E^partial t - fracmu_ fracpartial B^partial t Nun definieren wir: w frac varepsilon_ E^ + fracmu_ B^ quad vecS fracmu_ vecE times vecB Daraus ergibt sich der Energieerhaltungssatz: boxed fracpartial wpartial t + nabla vecS