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https://texercises.com/exercise/erste-charakterisierung-von-mehrdimensionaler-riemann-integrierbarkeit/
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Exercise:
Sei f eine beschränkte reellwertige Funktion auf einem abgeschlossenen Quader Qsubseteq mathbbR^n. Die Funktion f ist genau dann Riemann-egrierbar wenn zu jedem epsilon eine Zerlegung zeta von Q mit Ofzeta-Ufzeta epsilon existiert.

Solution:
Beweis. Angenommen f ist R-bar. Ist epsilon so existieren per Definition des unteren Integrals eine Zerlegung underlinezetaf-fracepsilon Ufunderlinezeta und analog eine Zerlegung overlinezeta von Q mit Ofoverlinezeta overlineIf+fracepsilon. Nach R-Intbarkeit von f gilt underlineIfoverlineIf und nach Lemma . hat die gemeinsame Verfeinerung zeta von underlinezeta und overlinezeta die gewünschte Eigenschaft. Die Umkehrung folgt direkt aus der Tatsache dass für jede Zerlegung zeta von Q die Ungleichung overlineIf-underlineIf leq Ofzeta-Ufzeta gilt.
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\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Sei f eine beschränkte reellwertige Funktion auf einem abgeschlossenen Quader Qsubseteq mathbbR^n. Die Funktion f ist genau dann Riemann-egrierbar wenn zu jedem epsilon eine Zerlegung zeta von Q mit Ofzeta-Ufzeta epsilon existiert.

Solution:
Beweis. Angenommen f ist R-bar. Ist epsilon so existieren per Definition des unteren Integrals eine Zerlegung underlinezetaf-fracepsilon Ufunderlinezeta und analog eine Zerlegung overlinezeta von Q mit Ofoverlinezeta overlineIf+fracepsilon. Nach R-Intbarkeit von f gilt underlineIfoverlineIf und nach Lemma . hat die gemeinsame Verfeinerung zeta von underlinezeta und overlinezeta die gewünschte Eigenschaft. Die Umkehrung folgt direkt aus der Tatsache dass für jede Zerlegung zeta von Q die Ungleichung overlineIf-underlineIf leq Ofzeta-Ufzeta gilt.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, fs23, integralrechnung, mehrdimensional, proof, riemann
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
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