Exercise
https://texercises.com/exercise/existenz-der-totalen-ableitung/
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Exercise:
Sei U subseteq mathbbR^n offen und f:U rightarrow mathbbR^m eine Funktion. Falls für jedes j in ...n die partielle Ableitung partial_j f auf ganz U existiert und eine stetige Funktion definiert so ist f auf ganz U diffbar. siehe Skript wegen Skizze!

Solution:
Beweis. Wegen Lemma . kann man m annehmen. Für xx_...x_n^t in U und hinreich kleine hh_...h_n^t in mathbbR^n gilt dann fx+h-fxfx_+h_x_+h_...x_n+h_n-fx_x_+h_...x_n+h_n &+fx_x_+h_x_+h_...x_n+h_n-fx_x_x_+h_...x_n+h_n &+...+fx_...x_n-x_n+h_n-fx partial_ fx_+xi_hx_+h_...x_n+h_nh_ &+partial_ fx_+x_+xi_hx_+h_...x_n+h_nh_ &+...+partial_n fx_...x_n-x_n+xi_nhh_n wobei für jedes j in ...n nach dem MWS ein Zwischenpunkt xi_j h zwischen und h_j gewählt wurde. Wegen Stetigkeit der partiellen Ableitungen kann man nun in obigen Ausdrücken stattdessen die partiellen Ableitungen bei x betrachten. Tatsächlich gilt für alphaxhpartial_ fx_+ xi_hx_+h_...x_n+h_n-partial_fxh_ &+partial_ fx_x_+xi_hx_+h_...x_n+h_n-partial_fxh_ &+...+partial_n fx_...x_n-x_n+ xi_nh-partial_nfxh_n nach den Annahmen des Satzes und wegen frac|h_k|||h||leq für alle h in mathbbR^n und k in ...n die Asymptotik lim limits_^h rightarrow fracalphaxh||h|| Daher ist schlusslich fx+h-fx partial_fxh_+...+partial_nfxh_n+alphaxhLh+alphaxh wobei Lpartial_fx...partial_nfx in textMat_nmathbbR. Also ist f bei x diffbar und da x in U beliebig war ist f also diffbar.
Meta Information
\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Sei U subseteq mathbbR^n offen und f:U rightarrow mathbbR^m eine Funktion. Falls für jedes j in ...n die partielle Ableitung partial_j f auf ganz U existiert und eine stetige Funktion definiert so ist f auf ganz U diffbar. siehe Skript wegen Skizze!

Solution:
Beweis. Wegen Lemma . kann man m annehmen. Für xx_...x_n^t in U und hinreich kleine hh_...h_n^t in mathbbR^n gilt dann fx+h-fxfx_+h_x_+h_...x_n+h_n-fx_x_+h_...x_n+h_n &+fx_x_+h_x_+h_...x_n+h_n-fx_x_x_+h_...x_n+h_n &+...+fx_...x_n-x_n+h_n-fx partial_ fx_+xi_hx_+h_...x_n+h_nh_ &+partial_ fx_+x_+xi_hx_+h_...x_n+h_nh_ &+...+partial_n fx_...x_n-x_n+xi_nhh_n wobei für jedes j in ...n nach dem MWS ein Zwischenpunkt xi_j h zwischen und h_j gewählt wurde. Wegen Stetigkeit der partiellen Ableitungen kann man nun in obigen Ausdrücken stattdessen die partiellen Ableitungen bei x betrachten. Tatsächlich gilt für alphaxhpartial_ fx_+ xi_hx_+h_...x_n+h_n-partial_fxh_ &+partial_ fx_x_+xi_hx_+h_...x_n+h_n-partial_fxh_ &+...+partial_n fx_...x_n-x_n+ xi_nh-partial_nfxh_n nach den Annahmen des Satzes und wegen frac|h_k|||h||leq für alle h in mathbbR^n und k in ...n die Asymptotik lim limits_^h rightarrow fracalphaxh||h|| Daher ist schlusslich fx+h-fx partial_fxh_+...+partial_nfxh_n+alphaxhLh+alphaxh wobei Lpartial_fx...partial_nfx in textMat_nmathbbR. Also ist f bei x diffbar und da x in U beliebig war ist f also diffbar.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
ableitung, analysis, beweis, eth, fs23, proof
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Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
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File
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