Exercise:
Sei dgeq Usubseteq mathbbRtimes mathbbR^d offen f:Urightarrow mathbbR^d stetig und forall t_ x_in U existiere ein epsilon mit B_epsilont_x_subseteq U und ein M s.d. forall tx_tx_in B_epsilont_x_ gilt: ||ftx_-ftx_|| leq M||x_-x_|| f ist lokal Lipschitz-stetig in x. Dann existiert forall t_x_in U ein Intervall Iabsubseteq mathbbR und eine differenzierbare Funktion x:Irightarrow mathbbR^d s.d. gilt: itemize item txtin U und dotxtftxtquad forall tin I item t_in I und xt_x_ item für jede weitere Lösung y:Jrightarrow mathbbR^d desselben Anfangswertproblems auf einem offenen Intervall t_in J und x|_Jy bf Eindeutigkeit item die Grenzwerte lim_tsearrow a txt und lim_tnearrow btxt existieren in U nicht bf Maximalität itemize a-infty oder binfty ist möglich

Solution:
Beweis. bf Eindeutigkeit. Seien x_:I_rightarrow mathbbR^d x_:I_rightarrow mathbbR^d zwei Lösungen des Anfangswertproblems dotxtftxt xt_x_ auf offenen Intervallen t_in I_I_. Sei II_cap I_alpha beta. Definiere stextsuptin Imid x_x_ text auf t_t_ Falls s beta und somit sin I so folgt x_sx_x Stetigkeit d.h. x_ und x_ lösen das Anfangswertproblem dotxtftxt xsx_sx_s also existiert nach . ein delta mit x_x_ auf s-delta s+delta im Widerspruch zur Definition von s. Somit ist sbeta also x_x_ auf t_beta und analog auf alpha t_. bf Existenz einer maximalen Lösung: Setze atextinfalpha in -infty t_mid text es existiert eine Lösung auf alpha beta mit beta t_ btextsupbeta in t_ inftymid text es existiert eine Lösung auf alpha beta mit alpha t_ Definiere x_textmax wie folgt: Zu tin ab wähle eine Lösung x auf einem Intervall alpha beta mit a alpha t beta b und alpha t_ beta wie oben und setze x_textmaxtxt. Gemäss Eindeutigkeit ist x_textmax:abrightarrow mathbbR^d wohldefiniert und für tin ab und x wie oben gilt dotx_textmaxtdotxtftxtftx_textmaxt und x_textmaxt_xt_x_. bf Maximalität: Annahme b infty und lim_tnearrow btx_textmaxtbx_bin U. Nach . existiert eine Lösung y:b-deltab+deltarightarrow mathbbR^d des Anfangswertproblems dotytftyt ybx_b text für ein delta . Definiere x&:ab+deltarightarrow mathbbR^d xtcases x_textmaxtquad textfalls t in ab ytquad textfalls tinbb+delta cases Wegen lim_tnearrow bx_textmaxtx_byblim_tsearrow byt ist x stetig. Noch zu zeigen: x ist bei b differenzierbar. Rechtsseitige Ableitung: dotx_+bdotyb fbybfbxb Linksseitige Ableitung: Da x auf ab differenzierbar ist folgt mit dem Mittelwertsatz . und der Stetigkeit von tmapsto ftxt: fracxb-xtb-t pmatrix dotx_xi_ vdots dotx_dxi_d pmatrix pmatrix fxi_xxi_ vdots fxi_dxxi_d pmatrixrightarrow fbxb Somit ist dotxbfbxb. D.h. x ist glqq grösseregrqq Lösung. als x_textmax Widerspruch zur Definition von b. Analog für a.