Exercise:
In einem Labor werde eine Gravitationswaage mit zwei Bleikugeln mO aufgestellt. Die zwei Bleikugeln üben auf eine an einem Stahldraht hänge kleine Hantel im Wesentlichen besteh aus zwei kleinen Kugeln rO Radius mit dO Abstand zum Draht und RO Abstand zur benachbarten grossen Kugel ein Drehmoment aus. Auf einem Schirm in LO Entfernung ersche der Laserstrahl bei der saO Markierung. Werden die grossen Kugeln nun um nicht ganz ang in ihrer Position verschoben so oszilliert der Laserpunkt mit TO Periodauer und kommt schliesslich im neuen Gleichgewicht bei der sbO Markierung zur Ruhe. Welchen Wert errechnet man daraus für die Gravitationskonstante? center tikzpicture drawdotted circle cm; filldrawcolorblack :cm circle mm; filldrawcolorblack :cm circle mm; filldrawcolorblack fillblack!!white -.-. rectangle ..; scoperotat drawthick -.--.; filldrawcolorblack -. circle .mm; filldrawcolorblack . circle .mm; drawultra thick colorNavyBlue .-.--..; drawcolorRed thick -- nodemidway below rotat scriptsize Laserstrahl; scope scoperotate drawcolorRed dashed --; scope drawdashed --; drawcolorgreen!!black thick -.--.; drawcolorgreen!!black .-.--.-. noderight s_; drawcolorgreen!!black ..--.. noderight s_; draw-colorgreen!!black -.---.. nodemidway left d; draw-colorgreen!!black -.-.---. nodemidway below R; draw- blue :cm arc ::cm; draw- blue :cm arc :-:cm; tikzpicture center

Solution:
Das Drehmoment welches von den beiden grossen Massen auf die beiden kleinen Massen ausgeübt wird beträgt zusammen genommen: M M_ Fd G fracm_m_R^ d Dieses Drehmoment wird auf den Draht ausgeübt an dem die Hantel hängt. Daher ist dieses Drehmoment auch proportional zum Winkel um welchen der Draht verdreht wird M D phi wobei D das Direktionsmoment bzw. die Torsionskonstante des Drahtes ist. Zusammengenommen und nach der Gravitationskonstante aufgelöst erhält man: G fracm_m_R^ d D phi G fracR^Dphidm_m_ Für kleine Winkel gilt ausserdem thetaapproxtantheta so dass theta &approx fracs_-s_L folgt. Der Winkel um welchen der Draht verdreht wurde ist die Hälfte von diesem Winkel wegen der Reflexion am Spiegel: phi fractheta fracs_-s_L Drückt man nun das Direktionsmoment noch durch die Schwingungsdauer aus also omega sqrtfracDJ D omega^ J fracpi^T^ leftfracm_r^+m_d^right findet man: G fracR^phidm_m_ fracpi^T^ m_leftfracr^+d^right fracR^ fracs_-s_Ldm_m_ fracpi^T^ m_leftfracr^+d^right fracpi^ R^ s_-s_leftfracr^+d^rightdm_LT^ Gexp