Exercise:
Jedes komplexe Polynom f in mathbbCz mit positivem Grad n textdegf geq hat mindestens eine Nullstelle in mathbbC. Des Weiteren lässt sich f als Produkt eines Skalars a_n in mathbbC^times und n Linearfaktoren der Form z-alpha_j schreiben das heisst f a_nprodlimits_j ^nz-alpha_j mit alpha_...alpha_n in mathbbC. Es genügt den ersten Teil des Theorems zu beweisen. Der zweite Teil folgt dann aus dem ersten Division mit Rest und Induktion.

Solution:
Beweis. Sei f in mathbbCz ein komplexes Polynom mit Grad ntextdegf geq . Falls f ist so hat ma bereits eine Nullstelle gefunden. Also angenommen M |f| . Nach Proposition . gibt es daher ein R geq s.d. für alle z in mathbbC mit |z| geq R auch |fz| geq M gilt. Nach dem Satz von HeinBorel Satz . ist K z in mathbbC leq R eine kompakte Teilmenge. Man wet nun die Existenz des Minimalwertes in Satz . e auf die stetige Funktion z in K mapsto |fz| in mathbbR an und findet ein z_ in K mit |fz_| textmin_z in K|fz|. Da |f|fracM gilt die Ungleichung |fz_| M. Da auch |fz| geq M für alle z in mathbbCbackslash K Nullstelle von f ist. Man nehme stattdessen an dass |fz_| ist. Man schreibt f als Potenzreihe um z_ für das Polynom folgt die Existenz dieser Darstellung aber auch einfach mittels Division mit Rest und Induktion nach ntextdegf fz _k^n b_kz-z_^k mit b_fz_b_f'z_...b_nfracf^nz_n! in mathbbC. Per Annahme an z_ gilt b_ neq was man nun zu einem Widerspruch führen möchte indem man einen Punkt z in der Nähe von z_ mit |fz| |b_| finden. Sei l geq der kleinste Index grösser gleich mit b_l neq . Dann gilt fz b_+b_lz-z-^l + _kl+^n b_kz-z_^k b_+b_lz-z_^l+ O|z-z_|^l+ für z rightarrow z_. Man setzt zz_+re^iphi für ein festes phi in mathbbR welches man später wählen möchte und ein variieres r womit fz_+re^iphi b_ + b_lr^le^ilphi+Or^l+b_left+fracb_lb_r^le^ilphiright+Or^l+ für r rightarrow . Man schreibt fracb_lb_se^ipsi für ein s und psi in pi und erhält fz_+re^iphi b_ left+se^ipsir^le^ilphiright+Or^l+b_left+sr^le^ilphi+psiright+Or^l+ für r rightarrow . Man möchte nun den obigen Term bei r^l so arrangieren dass er negativ und reell ist. Dafür setzt man phi frac-psi+pil so ist der obige Winkel lphi+psi gleich pi und e^ilphi+psi-. Zusammenfass gilt |fz_+re^iphi| left|b_left-sr^lright + Or^l+right| leq |b_|left-sr^lright+Or^l+ für r rightarrow . Für genüg kleine r ist diese obere Schranke aber kleiner als |b_| was einen Widerspruch zu |fz_||b_|textmin_zin K|fz| darstellt. Dies beweist dass fz_ gelten muss.