Gedämpfte Federschwingung
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Exercise:
Ein g schwerer Körper an einer Feder mit D N/m und Reibungsfaktor k delta m .kg/s wird um x_ cm ausgelenkt und losgelassen. enumerate item Berechne die Periodauer T und item die Halbwertszeit tau der Schwingung d.h. wenn die Amplitude halb so gross ist. item Nach wie vielen Schwingungen hat sich die Auslenkung halbiert? item Wie gross ist die Geschwindigkeit v beim ersten Durchgang durch die Gleichgewichtslage? enumerate
Solution:
Der Dämpfungsfaktor delta ist also: delta frackm apx .s^-. Damit lassen sich nun die Aufgaben lösen. enumerate item Die Periode T erhalten wir aus der Winkelgeschwindigkeit omega. Es gilt: omega sqrtomega_^-delta^ sqrtfracDm-delta^ apx s^-. Damit ist die Periode: T fracpiomega apx .. item Die Halbwertszeit tau erhalten wir direkt aus der folgen Beziehung: frachaty hatytextrme^-delta tau myRarrow tau fraclndelta apx .s. item Die Auslenkung halbiert sich nach tau/T apx Schwingungen. item Mit der Ketten- und Produktregel erhält man vt dotxt fracmathrmdmathrmdtleft x_textrme^-delta t cosomega tright -x_textrme^-delta tleftdelta cosomega t + omega sinomega tright. Daraus folgt: v T/ -x_omega textrme^-delta T/ apx -. enumerate
Ein g schwerer Körper an einer Feder mit D N/m und Reibungsfaktor k delta m .kg/s wird um x_ cm ausgelenkt und losgelassen. enumerate item Berechne die Periodauer T und item die Halbwertszeit tau der Schwingung d.h. wenn die Amplitude halb so gross ist. item Nach wie vielen Schwingungen hat sich die Auslenkung halbiert? item Wie gross ist die Geschwindigkeit v beim ersten Durchgang durch die Gleichgewichtslage? enumerate
Solution:
Der Dämpfungsfaktor delta ist also: delta frackm apx .s^-. Damit lassen sich nun die Aufgaben lösen. enumerate item Die Periode T erhalten wir aus der Winkelgeschwindigkeit omega. Es gilt: omega sqrtomega_^-delta^ sqrtfracDm-delta^ apx s^-. Damit ist die Periode: T fracpiomega apx .. item Die Halbwertszeit tau erhalten wir direkt aus der folgen Beziehung: frachaty hatytextrme^-delta tau myRarrow tau fraclndelta apx .s. item Die Auslenkung halbiert sich nach tau/T apx Schwingungen. item Mit der Ketten- und Produktregel erhält man vt dotxt fracmathrmdmathrmdtleft x_textrme^-delta t cosomega tright -x_textrme^-delta tleftdelta cosomega t + omega sinomega tright. Daraus folgt: v T/ -x_omega textrme^-delta T/ apx -. enumerate