Exercise:
Eine Zylinderboje mit Radius r und Masse m ruht im Wasser. Sie werde hat y ins Wasser Dichte sscrhoW gedrückt. abclist abc Zeige dass diese Zylinderboje bei Vernachlässigung der Dämpfung harmonisch mit der Kreisfrequenz al omega_ sqrtfracsscrhoW g pim r schwingt. hfill Hinweis: Es ist textbfkeine detaillierte Lösung der DGL verlangt sondern lediglich ein Reduzieren der Bewegungsgleichung in die Form at -omega_^ yt. abc Berechne die Masse einer solchen Zylinderboje mit ro Radius wenn sie mit fo schwingt. hfill abclist In der Realität stellt man fest dass bereits nach t die Amplitude bloss noch eto der anfänglichen Amplitude beträgt. Nimm an dass die gedämpfte Schwingung über die Positionsfunktion al yt hat y qty-delta t cosomega t beschrieben werden kann. abclist setcounterabc setcounterenumii abc Berechne den Dämpfungsparameter delta. hfill abc Skizziere im folgen Diagramm die Auslenkung des gedämpften Systems in Abhängigkeit der Zeit für eine Anfangsamplitude von mm. Gehe davon aus dass das gedämpfte System die gleiche Schwingungsdauer wie das ungedämpfte System hat. hfill abc Was passiert nach knapp .s? hfill abclist center tikzpicture tkzInitxmin xmax ymin- ymax tkzGridsub subystep. subxstep. tkzDrawXright labelt/sis tkzDrawYabove labely/simm tkzTextbelowsmall. tkzTextbelowsmall. tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tikzpicture center

Solution:
abclist abc Auf die Boje wirken die Gewichtskraft und die von der momentanen Auslenkung abhängige Auftriebskraft: al sscFres sscFG - sscFA m g - sscrhoW g A y_ + yt - sscrhoW g A yt. Die Fläche der Boje kann umgeschrieben werden zu al A pi r^. Mit dem Aktionsprinzip folgt al m at -sscrhoW g pi r^ yt at -underbracefracsscrhoW g pim r^_omega^ yt. abc al m mf fracRW ncg pi qtyr^qtyfC^ m approx mTT abc al eta -delta t delta Df fract qty-et D approx DTT abc phantom. center tikzpicture tkzInitxmin xmax ymin- ymax tkzGridsub subystep. subxstep. tkzDrawXright labelt/sis tkzDrawYabove labely/simm tkzTextbelowsmall. tkzTextbelowsmall. tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzFctvery thick darkgreen domain:*-./*x tkzDefPoByFct tkzTextabove right darkgreentkzPoResultsmallhat y_ qty-delta t tkzTextleft darkred.-.smallhat y_ qty-delta t cosomega t tkzFctvery thick darkgreen-*-./*x tkzDefPoByFct tkzTextbelow right darkgreentkzPoResultsmall-hat y_ qty-delta t tkzFctvery thick darkred domain:*-./*x*cosdeg.*x tikzpicture center abc Die Schwingung ist beet. abclist