Exercise:
Bei einem Federpel wird die Pelmasse mO über eine Schnur mit der Feder verbunden. Die Schnur reibt bei der Schwingung des Pels entlang einer Metallstange beim Punkt P wodurch die Schwingung gedämpft wird vgl. Abb.~reffig:pel. Die Bewegung wurde über mehrere Perioden gefilmt und mit einer Videoanalysesoftware LoggerPro getrackt. Die so bestimmten Punkte blau sind im Diagramm in Abb.~reffig:diagramm dargestellt. Die eingepasste Kurve rot stimmt bis auf die letzten beiden Perioden sehr gut mit den Messwerten überein. figureH centering includegraphicswidth.textwidth#image_path:federpel-mit-dampfung# captionGedämpftes Federpel. Die Dämpfung erfolgt durch Gleitreibung am Punkt P. labelfig:pel figure figureH centering includegraphicswidth.textwidth#image_path:gedampftschwingung-mit-linearer-hullkurve# captionAuslenkungs-Zeit-Diagramm für die gedämpfte Schwingung: Messwerte blau und eingepasste Funktion rot. labelfig:diagramm figure abclist abc DuSieLiesLesen Sie die Schwingungsdauer aus dem Diagramm ab. DuSieBerechneBerechnen Sie damit die Frequenz der Schwingung. hfill abc Unter Vernachlässigung der Dämpfung wirken auf den Pelkörper die Gewichtskraft und die Federkraft. Zeige textbfausgeh davon dass ein Federpel unter Vernachlässigung der Dämpfung harmonischs schwingt und leite formal den Ausdruck für die Kreisfrequenz her. hfill abc DuSieBerechneBerechnen Sie aus der abgelesenen Schwingungsdauer und der Pelmasse die Federkonstante der verweten Feder. hfill abc DuSieMarkiereMarkieren Sie eine Stelle im Diagramm bei der die Masse nach unten beschleunigt wird. DuSieBegründe deineBegründen Sie Ihre Wahl mit den wirken Kräften. hfill abclist Die gedämpfte Schwingung kann sehr gut mit einer textbflinearen Hüllkurve beschrieben werden d.h. mit einer Funktion der Form al yt hat y_ qty-delta t cosomega t. abclist setcounterabc setcounterenumii abc Bestimme mit Hilfe des Diagramms die Parameter delta und hat y_. hfill abc DuSieBerechneBerechnen Sie die prozentuale Abnahme der Amplitude zwischen dem . und dem . Minimum der Schwingung. Die entsprechen Amplituden DuSiedarfst dudürfen Sie aus dem Diagramm ablesen. hfill abc Weshalb ist hier anders als bei der im Unterricht betrachteten Form der Hüllkurve exponentielle Abnahme die prozentuale Abnahme der Amplitude für fixe Zeitervalle unterschiedlich gross? hfill abc DuSieErkläreErklären Sie anhand dieses Beispiels was man unter em überkritischer Dämpfung Kriechfall versteht und wie diese konkret realisiert werden könnte. hfill abclist

Solution:
abcliste abc Die im Diagramm abgelesene Zeit für NO Schwinungen beträgt ca. tabgO. Die Schwingungsdauer beträgt daher T TF fractabgN TP abc al sscFres sscFG - sscFF mg - Dtilde y mg - Dy_ + y ma -Dy a -fracDm y omega sqrtfracDm abc D DF pi^timesfracmT^ D abc Die Masse wird immer dann nach unten beschleunigt wenn sie sich oberhalb der Gleichgewichtslage befindet. In der Gleichgewichtslage sind die beiden auf die Masse wirken Kräfte die Gewichtskraft F_G nach unten und die Federkraft F_F nach oben im Gleichgewicht. Oberhalb der Gleichgewichtslage ist die Feder weniger gespannt d.h. die Federkraft ist kleiner als die konstante Gewichtskraft. Die resultiere Kraft wirkt daher nach unten. Aus dem newtonschen Aktionsprinzip folgt dass die Masse dann nach unten beschleunigt wird. abc hat y_ AanfO al - delta t_ delta fract_ fracs .s^- abc eta ratioF fracAbAa- ratioP Die prozentuale Änderung beträgt folglich percP. abc Bei linearen Funktionen ist die Steigung konstant und es gibt folglich für ein fixes Zeitervall fixe absolute Veränderung der Amplitude. abc Bei einer überkritischen Dämpfung schwingt die Pelmasse nach dem Loslassen nicht über die Gleichgewichtslage hinaus. Beim vorliegen System könnte die Gleitreibung erhöht werden z.B. durch einen zusätzlichen Anpressdruck oder durch raue Oberflächen bis die Grenze kritische Dämpfung überschritten wird. abcliste Korrekturhinweise abclist abc Punkt für einigermassen vernünftig abgelesene Schwingungsdauer; Punkte für formale Lösung Einsetzen Ergebnis abc pro Zeile Punkt abc Punkte für formale Lösung Einsetzen Ergebnis abc Punkt für korrekte Markierung Punkte für Begründung abc Punkt für Amplitude Punkte für Dämpfungskonstante abc Punkte für formale Lösung Einsetzen Ergebnis abc Punkte für Begründung abc Punkte für Erläuterung überkritische Dämpfung; Punkt für Beispeil abclist