Exercise:
Bei einem Federpel wird die Pelmasse mO über eine Schnur mit der Feder verbunden. Die Schnur reibt bei der Schwingung des Pels entlang einer Metallstange beim Punkt P wodurch die Schwingung gedämpft wird vgl. Abbildung reffig:pel. figureH centering includegraphicswidth mm#image_path:federpel-mit-dampfung# captionGedämpftes Federpel. Die Dämpfung erfolgt durch Gleitreibung am Punkt P. labelfig:pel figure Die Bewegung wurde über mehrere Perioden gefilmt und mit einer Videoanalysesoftware LoggerPro getrackt. Die so bestimmten Punkte blau sind im Diagramm in Abbildung reffig:diagramm dargestellt. Die eingepasste Kurve rot stimmt bis auf die letzten beiden Perioden sehr gut mit den Messwerten überein. figureH centering includegraphicswidthcm#image_path:gedampftschwingung-mit-linearer-hullkurve# captionAuslenkungs-Zeit-Diagramm für die gedämpfte Schwingung: Messwerte blau und eingepasste Funktionrot. labelfig:diagramm figure abcliste abc DuSieLiesLesen Sie die Schwingungsdauer aus dem Diagramm ab. DuSieBerechneBerechnen Sie damit die Frequenz der Schwingung. hfill abc DuSieBerechneBerechnen Sie aus der abgelesenen Schwingungsdauer und der Pelmasse die Federkonstante der verweten Feder. DuSieBerechneBerechnen Sie den absoluten Fehler der Federkonstante indem DuSieduSie den Ablesefehler für die Schwingungsdauer vernünftig DuSieabschätzstabschätzen und eine Fehlerrechnung DuSiedurchführstdurchführen. Der Fehler der Pelmasse darf vernachlässigt werden. DuSieSchreibeSchreiben Sie das Resultat mit Fehler korrekt gerundet in der Standardform DpmDelta D. hfill abc Wie schnell bewegt sich die Pelmasse wenn sie bei ca. tnullO die Gleichgewichtslage durchläuft? DuSieErkläreErklären Sie wie DuSieduSie die Geschwindigkeit DuSiebestimmstbestimmen. hfill abc DuSieMarkiereMarkieren Sie eine Stelle im Diagramm bei der die Masse nach unten beschleunigt wird. DuSieBegründe deineBegründen Sie Ihre Wahl mit den wirken Kräften. hfill abc DuSieBerechneBerechnen Sie die prozentuale Abnahme der Schwingungsenergie zwischen dem . und dem . Minimum der Schwingung. Die entsprechen Amplituden DuSiedarfst dudürfen Sie aus dem Diagramm ablesen. hfill abc Die gedämpfte Schwingung kann sehr gut mit einer linearen Hüllkurve beschrieben werden. DuSieStelleStellen Sie einen formalen Ausdruck für die gedämpfte Schwingung auf und DuSiebestimmebestimmen Sie die numerischen Werte für die darin verweten Parameter. hfill abc DuSieErkläreErklären Sie anhand dieses Beispiels was man unter em überkritischer Dämpfung versteht und wie diese konkret realisiert werden könnte. hfill abcliste

Solution:
abcliste abc Die im Diagramm abgelesene Zeit für NO Schwinungen beträgt ca. tabgO. Die Schwingungsdauer beträgt daher T TF fractabgN TP abc Für die Schwingunsdauer eines ungedämpften Federpels gilt T pi sqrtfracmD Die Federkonstante ist folglich D DF pi^timesfracmT^ D Die Ablesegenauigkeit der Schwingunsdauer beträgt ca. Delta TdTO dtO für NO Schwingungen. Der grösste zu erwarten Wert für die Federkonstante ist daher sscDmax pi^fracmsscTmin^ DmaxF pi^fracmT-dT^ Dmax Der absolute Fehler für die Federkonstante ist damit Delta D dDF Dmax-D dD Wir erhalten schliesslich D DnuPpmdDnuPunitnewton/meter abc Die Geschwindigkeit entsprich der Steigung des Graphen im Auslenkungs-Zeit-Diagramm. Für die Tangente an die Kurve beim Nulldurchgang nahe bei tnullO beträgt die Steigung v vF fracdeltaydeltat vP abc Die Masse wird immer dann nach unten beschleunigt wenn sie sich oberhalb der Gleichgewichtslage befindet. In der Gleichgewichtslage sind die beiden auf die Masse wirken Kräfte die Gewichtskraft F_G nach unten und die Federkraft F_F nach oben im Gleichgewicht. Oberhalb der Gleichgewichtslage ist die Feder weniger gespannt d.h. die Federkraft ist kleiner als die konstante Gewichtskraft. Die resultiere Kraft wirkt daher nach unten. Aus dem newtonschen Aktionsprinzip folgt dass die Masse dann nach unten beschleunigt wird. abc Die Schwingungsenergie ist proportional zum Quadrat der Amplitude: E varpropto y^ Die Amplituden beim . und . Minimum betragen yaO bzw. ybO. Für das Verhältnis der Energien gilt dann fracE_E_ ratioF leftfracAbAaright^ ratioP Die prozentuale Änderung beträgt folglich percP. abc Die lineare Hüllkurve kann durch den Ausdruck At pm A_ -t/t_ beschrieben werden. Für die gedämpfte Schwingung ergibt sich dann yt At cosomega t-phi_ A_ -t/t_ cosomega t-phi_ Die Anfangsamplitude A_AanfO kann direkt aus dem Diagramm abgelesen werden. Die Zeitkonstante t_ entspricht dem Schnittpunkt der linearen Hüllkurve mit der Zeitachse und liegt ziemlich genau bei tO. Die Kreisfrequenz omega kann aus der Schwingungsdauer berechnet werden: omega omegaF fracpiT omegaP Die Bestimmung des Nullphasenwinkels phi_ wird nicht verlangt. Er liegt hier nahe bei degree Start ungefähr beim Maximum. abc Bei einer überkritischen Dämpfung schwingt die Pelmasse nach dem Loslassen nicht über die Gleichgewichtslage hinaus. Beim vorliegen System könnte die Gleitreibung erhöht werden z.B. durch einen zusätzlichen Anpressdruck oder durch raue Oberflächen bis die Grenze kritische Dämpfung überschritten wird. abcliste