Exercise:
Eine auf einem Tisch ruhe Glaskugel mit rO Radius werde durch zum Tisch parallel verlaufe Strahlenbündel beleuchtet. Der Grenzwinkel der Totalreflexion der verweten Glassorte beträgt aO. abcliste abc Bis zu welchem Minimalabstand vom Aufliegepunkt kann gebrochenes Licht die Tischfläche erreichen? abc In welchem Bereich der Zeichnungsebene treffen in die obere Halbkugel erete Strahlen des Bündels die Tischfläche? abcliste

Solution:
center tikzpictureLatex line width.pt scale. % Tisch drawthick -. -- noderight Tisch; % Kugel coordinate C at ; coordinate T at ; drawthick C circle ; fill C circle pt noderight C; fill T circle pt nodebelow T Aufliegepunkt; drawdotted C -- T; % --- Grenzstrahl streifer Einfall am Scheitel definiert d_min --- coordinate P at ; coordinate P at ..; coordinate H at .; draw- thick red - -- P nodemidwayaboveeinfall streif; draw- thick red P -- P; draw- thick red P -- H; drawdashedgray C -- P; drawdashedgray C -- P; pic"theta_g" draw angle radius.cm angle P--C--P; fill H circle pt; draw- thick T -- H nodemidway belowd_min; % --- zweiter zentralerer Strahl illustriert Bereich in Teil b --- coordinate Q at -.; coordinate Q at ..; coordinate H at .; draw- thick blue! -.. -- Q nodemidwayabove; draw- thick blue! Q -- Q; draw- thick blue! Q -- H; fill H circle pt; % Schattenzone drawvery thick orange T -- H; nodeorange below at .-. dunkle Zone; tikzpicture center Ein Strahl treffe parallel zum Tisch mit Stossparameter p Höhe über der Kugelmitte C auf die Kugel. Der Einfallswinkel gegen das Lot den Radius am Auftreffpunkt P_ ist sinvarepsilon fracpR. Brechung beim Eritt Snellius Luft to Glas: sinvarepsilon n sindelta . Da das Dreieck C P_ P_ gleichschenklig ist CP_ CP_ R schliesst die Sehne P_P_ an beiden Punkten denselben Winkel delta mit dem jeweiligen Radius ein. Beim Austritt bei P_ Glas to Luft gilt daher: nsindelta sinvarepsilon' ;;Longrightarrow;; varepsilon' varepsilon . Die Gesamtablenkung des Strahls beträgt somit D varepsilon - delta. noindent textbfWichtige Beobachtung: Für die obere Halbkugel gilt le varepsilon le ^circ. Wegen sindelta sinvarepsilon /n le /n sheta_g folgt delta le theta_g für jeden Strahl der oberen Halbkugel -- Gleichheit tritt nur beim streifen Grenzstrahl varepsilon^circ auf. Das bedeutet: textbfalle in die obere Halbkugel ereten Strahlen verlassen die Kugel direkt gebrochen ohne Totalreflexion. bigskip Der Grenzfall ist der streif einfalle Strahl am Scheitelpunkt der Kugel varepsilon ^circ. Wegen sinvarepsilon nsindelta folgt sofort sindelta fracn sheta_g quadLongrightarrowquad delta theta_g . Nach Punkt ist dann auch varepsilon' varepsilon ^circ: Der Strahl verlässt die Kugel bei P_ ebenfalls streif d.h. der Austrittsstrahl ist dort Tangente an die Kugel. Der Mittelpunktswinkel zwischen P_ Scheitel und P_ im gleichschenkligen Dreieck beträgt ^circ - theta_g sodass P_ um den Winkel varphi theta_g vom Aufliegepunkt T aus am Kugelrand gemessen entfernt liegt. Für die Tangente an einen Kreis mit Radius R im Punkt mit Polarwinkel varphi gemessen von T gilt die bekannte Beziehung für den Schnittpunkt mit der Tangentialebene durch C Halbwinkelformel: d_min Rtan!leftfracvarphiright R tantheta_g . noindent textbfZahlenwert: d_min Rtantheta_g .cmtan.^circ approx .cm . approx boxed.cm . Näher als .cm an den Aufliegepunkt T kann also kein durch die obere Halbkugel gebrochener Strahl auf den Tisch treffen. bigskip Man betrachtet nun varepsilon von ^circ bis ^circ gesamte obere Halbkugel: itemize item textbfZentraler Strahl varepsilon p: Der Strahl geht ungebrochen delta exakt durch C hindurch und verlässt die Kugel wieder horizontal auf Höhe R über dem Tisch. Da D bleibt er für immer parallel zum Tisch -- er trifft den Tisch nie Auftreffpunkt to infty. item textbfGrenzstrahl varepsilon ^circ: trifft den Tisch im minimalen Abstand d_minRtantheta_g Teil a. itemize Da die Ablenkung Dvarepsilon varepsilon-deltavarepsilon mit wachsem varepsilon stetig und monoton von ^circ auf D_max^circ-theta_g^circ zunimmt wandert der Auftreffpunkt auf dem Tisch stetig und monoton von infty bei varepsilonto bis zum Minimalwert d_min bei varepsilon^circ. Jeder Zwischenwert wird dabei genau einmal durchlaufen. noindent textbfErgebnis: Die aus der oberen Halbkugel gebrochenen Strahlen erreichen den Tisch genau im Bereich d ;ge; d_min Rtantheta_g approx .cm gemessen vom Aufliegepunkt T aus in Ausbreitungsrichtung des einfallen Bündels. Unmittelbar um den Aufliegepunkt herum bis zu diesem Abstand bleibt ein dunkler unbeleuchteter Streifen in der Zeichnungsebene -- dort erreicht kein durch die obere Halbkugel gebrochener Strahl den Tisch.