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https://texercises.com/exercise/gleichmassige-konvergenz-und-r-intbarkeit/
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Exercise:
Sei ab ein kompaktes Intervall und f_n:ab rightarrow mathbbR eine Funktionenfolge R-barer Funktionen. Falls f_n_n gleichmässig gegegn f:ab rightarrow mathbbR konvergiert dann ist f R-bar und lim limits_n rightarrow infty _a^b f_n ddx _a^b lim limits_n rightarrow infty f_n ddx _a^b f ddx Also darf man bei gleichmässig konvergenten Folgen R-barer Funktionen Integration und Grenzwert vertauschen.

Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann gibt es ein N mit |f_nx-fx| epsilon für alle n geq N und x in ab. Da f_n nach Annahme R-bar ist gibt es Treppenfunktionen uo auf ab mit uleq f_n leq o und _a^b o-uddx epsilon. Daraus folgt dass u' u-epsilon leq f_n-epsilon leq f leq f_n+epsilon leq o+epsilon o' ist und _a^b o'-u' ddx _a^b o-u ddx+epsilonb-a epsilon b-a+ ist. Da epsilon beliebig war folgt die R-barkeit von f aus Proposition .. Für die zweite Aussage sei wiederum epsilon und N in mathbbN s.d. f-epsilon leq f_n leq f+epsilon für alle n geq N gilt. Aus der Monotonie des Riemann-Integrals in Satz . folgt nun _a^b f ddx-epsilonb-a _a^b f-epsilon ddxleq _a^b f_n ddx leq _a^b f+epsilon ddx _a^b f ddx+epsilonb-a was zu left|_a^b f ddx-_a^b f_n ddxright| leq epsilonb-a äquivalent ist. Dies beweist die Konvergenz in Gleichung der Aussage und damit den Satz.
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Exercise:
Sei ab ein kompaktes Intervall und f_n:ab rightarrow mathbbR eine Funktionenfolge R-barer Funktionen. Falls f_n_n gleichmässig gegegn f:ab rightarrow mathbbR konvergiert dann ist f R-bar und lim limits_n rightarrow infty _a^b f_n ddx _a^b lim limits_n rightarrow infty f_n ddx _a^b f ddx Also darf man bei gleichmässig konvergenten Folgen R-barer Funktionen Integration und Grenzwert vertauschen.

Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann gibt es ein N mit |f_nx-fx| epsilon für alle n geq N und x in ab. Da f_n nach Annahme R-bar ist gibt es Treppenfunktionen uo auf ab mit uleq f_n leq o und _a^b o-uddx epsilon. Daraus folgt dass u' u-epsilon leq f_n-epsilon leq f leq f_n+epsilon leq o+epsilon o' ist und _a^b o'-u' ddx _a^b o-u ddx+epsilonb-a epsilon b-a+ ist. Da epsilon beliebig war folgt die R-barkeit von f aus Proposition .. Für die zweite Aussage sei wiederum epsilon und N in mathbbN s.d. f-epsilon leq f_n leq f+epsilon für alle n geq N gilt. Aus der Monotonie des Riemann-Integrals in Satz . folgt nun _a^b f ddx-epsilonb-a _a^b f-epsilon ddxleq _a^b f_n ddx leq _a^b f+epsilon ddx _a^b f ddx+epsilonb-a was zu left|_a^b f ddx-_a^b f_n ddxright| leq epsilonb-a äquivalent ist. Dies beweist die Konvergenz in Gleichung der Aussage und damit den Satz.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, integralrechnung, konvergenz, proof, riemann
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration
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