Gleichmässige Konvergenz und R-intbarkeit
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
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Exercise:
Sei ab ein kompaktes Intervall und f_n:ab rightarrow mathbbR eine Funktionenfolge R-barer Funktionen. Falls f_n_n gleichmässig gegegn f:ab rightarrow mathbbR konvergiert dann ist f R-bar und lim limits_n rightarrow infty _a^b f_n ddx _a^b lim limits_n rightarrow infty f_n ddx _a^b f ddx Also darf man bei gleichmässig konvergenten Folgen R-barer Funktionen Integration und Grenzwert vertauschen.
Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann gibt es ein N mit |f_nx-fx| epsilon für alle n geq N und x in ab. Da f_n nach Annahme R-bar ist gibt es Treppenfunktionen uo auf ab mit uleq f_n leq o und _a^b o-uddx epsilon. Daraus folgt dass u' u-epsilon leq f_n-epsilon leq f leq f_n+epsilon leq o+epsilon o' ist und _a^b o'-u' ddx _a^b o-u ddx+epsilonb-a epsilon b-a+ ist. Da epsilon beliebig war folgt die R-barkeit von f aus Proposition .. Für die zweite Aussage sei wiederum epsilon und N in mathbbN s.d. f-epsilon leq f_n leq f+epsilon für alle n geq N gilt. Aus der Monotonie des Riemann-Integrals in Satz . folgt nun _a^b f ddx-epsilonb-a _a^b f-epsilon ddxleq _a^b f_n ddx leq _a^b f+epsilon ddx _a^b f ddx+epsilonb-a was zu left|_a^b f ddx-_a^b f_n ddxright| leq epsilonb-a äquivalent ist. Dies beweist die Konvergenz in Gleichung der Aussage und damit den Satz.
Sei ab ein kompaktes Intervall und f_n:ab rightarrow mathbbR eine Funktionenfolge R-barer Funktionen. Falls f_n_n gleichmässig gegegn f:ab rightarrow mathbbR konvergiert dann ist f R-bar und lim limits_n rightarrow infty _a^b f_n ddx _a^b lim limits_n rightarrow infty f_n ddx _a^b f ddx Also darf man bei gleichmässig konvergenten Folgen R-barer Funktionen Integration und Grenzwert vertauschen.
Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann gibt es ein N mit |f_nx-fx| epsilon für alle n geq N und x in ab. Da f_n nach Annahme R-bar ist gibt es Treppenfunktionen uo auf ab mit uleq f_n leq o und _a^b o-uddx epsilon. Daraus folgt dass u' u-epsilon leq f_n-epsilon leq f leq f_n+epsilon leq o+epsilon o' ist und _a^b o'-u' ddx _a^b o-u ddx+epsilonb-a epsilon b-a+ ist. Da epsilon beliebig war folgt die R-barkeit von f aus Proposition .. Für die zweite Aussage sei wiederum epsilon und N in mathbbN s.d. f-epsilon leq f_n leq f+epsilon für alle n geq N gilt. Aus der Monotonie des Riemann-Integrals in Satz . folgt nun _a^b f ddx-epsilonb-a _a^b f-epsilon ddxleq _a^b f_n ddx leq _a^b f+epsilon ddx _a^b f ddx+epsilonb-a was zu left|_a^b f ddx-_a^b f_n ddxright| leq epsilonb-a äquivalent ist. Dies beweist die Konvergenz in Gleichung der Aussage und damit den Satz.
Meta Information
Exercise:
Sei ab ein kompaktes Intervall und f_n:ab rightarrow mathbbR eine Funktionenfolge R-barer Funktionen. Falls f_n_n gleichmässig gegegn f:ab rightarrow mathbbR konvergiert dann ist f R-bar und lim limits_n rightarrow infty _a^b f_n ddx _a^b lim limits_n rightarrow infty f_n ddx _a^b f ddx Also darf man bei gleichmässig konvergenten Folgen R-barer Funktionen Integration und Grenzwert vertauschen.
Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann gibt es ein N mit |f_nx-fx| epsilon für alle n geq N und x in ab. Da f_n nach Annahme R-bar ist gibt es Treppenfunktionen uo auf ab mit uleq f_n leq o und _a^b o-uddx epsilon. Daraus folgt dass u' u-epsilon leq f_n-epsilon leq f leq f_n+epsilon leq o+epsilon o' ist und _a^b o'-u' ddx _a^b o-u ddx+epsilonb-a epsilon b-a+ ist. Da epsilon beliebig war folgt die R-barkeit von f aus Proposition .. Für die zweite Aussage sei wiederum epsilon und N in mathbbN s.d. f-epsilon leq f_n leq f+epsilon für alle n geq N gilt. Aus der Monotonie des Riemann-Integrals in Satz . folgt nun _a^b f ddx-epsilonb-a _a^b f-epsilon ddxleq _a^b f_n ddx leq _a^b f+epsilon ddx _a^b f ddx+epsilonb-a was zu left|_a^b f ddx-_a^b f_n ddxright| leq epsilonb-a äquivalent ist. Dies beweist die Konvergenz in Gleichung der Aussage und damit den Satz.
Sei ab ein kompaktes Intervall und f_n:ab rightarrow mathbbR eine Funktionenfolge R-barer Funktionen. Falls f_n_n gleichmässig gegegn f:ab rightarrow mathbbR konvergiert dann ist f R-bar und lim limits_n rightarrow infty _a^b f_n ddx _a^b lim limits_n rightarrow infty f_n ddx _a^b f ddx Also darf man bei gleichmässig konvergenten Folgen R-barer Funktionen Integration und Grenzwert vertauschen.
Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann gibt es ein N mit |f_nx-fx| epsilon für alle n geq N und x in ab. Da f_n nach Annahme R-bar ist gibt es Treppenfunktionen uo auf ab mit uleq f_n leq o und _a^b o-uddx epsilon. Daraus folgt dass u' u-epsilon leq f_n-epsilon leq f leq f_n+epsilon leq o+epsilon o' ist und _a^b o'-u' ddx _a^b o-u ddx+epsilonb-a epsilon b-a+ ist. Da epsilon beliebig war folgt die R-barkeit von f aus Proposition .. Für die zweite Aussage sei wiederum epsilon und N in mathbbN s.d. f-epsilon leq f_n leq f+epsilon für alle n geq N gilt. Aus der Monotonie des Riemann-Integrals in Satz . folgt nun _a^b f ddx-epsilonb-a _a^b f-epsilon ddxleq _a^b f_n ddx leq _a^b f+epsilon ddx _a^b f ddx+epsilonb-a was zu left|_a^b f ddx-_a^b f_n ddxright| leq epsilonb-a äquivalent ist. Dies beweist die Konvergenz in Gleichung der Aussage und damit den Satz.
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