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https://texercises.com/exercise/gleichmassige-konvergenz-und-stetigkeit/
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Exercise:
Sei D subseteq mathbbC und f_n:D rightarrow mathbbC eine Funktionenfolge stetiger Funktionen. Falls f_n_n gleichmässig gegen f:D rightarrow mathbbC konvergiert dann ist f ebenso stetig.

Solution:
Beweis. Sei x_ in D und epsilon . Dann existiert ein n in mathbbN s.d. |f_nx-fx| epsilon für alle x in D. Da f_n bei x_ stetig ist existiert ein delta s.d. |x-x_| delta Longrightarrow |f_nx-f_nx_| epsilon für alle x in D. Insgesamt gilt nun für alle x in D mit |x-x_| delta dass |fx-fx_| leq |fx-f_nx| + |f_nx-f_nx_| + |f_nx_-fx_| epsilon Da epsilon beliebig war ist f bei x_ stetig. Da x_ in D beliebig war folgt der Satz.
Meta Information
\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Sei D subseteq mathbbC und f_n:D rightarrow mathbbC eine Funktionenfolge stetiger Funktionen. Falls f_n_n gleichmässig gegen f:D rightarrow mathbbC konvergiert dann ist f ebenso stetig.

Solution:
Beweis. Sei x_ in D und epsilon . Dann existiert ein n in mathbbN s.d. |f_nx-fx| epsilon für alle x in D. Da f_n bei x_ stetig ist existiert ein delta s.d. |x-x_| delta Longrightarrow |f_nx-f_nx_| epsilon für alle x in D. Insgesamt gilt nun für alle x in D mit |x-x_| delta dass |fx-fx_| leq |fx-f_nx| + |f_nx-f_nx_| + |f_nx_-fx_| epsilon Da epsilon beliebig war ist f bei x_ stetig. Da x_ in D beliebig war folgt der Satz.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, gleichmässig beschleunigte bewegung, hs22, konvergenz, proof, stetigkeit
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration
File
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