Gummibälle
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Exercise:
Mit einer Apparatur können zwei Gummibälle aus der Anfangshöhe h exakt vertikal übereinander fallen gelassen werden m_ über m_. Der Aufprall am Boden und der kurz darauf folge gegenseitige Stoss sind völlig elastisch und gerade. Die Ausdehnung der Bälle ist zu vernachlässigen. Der Stoss zwischen den Bällen nach dem Aufprall kann auf der Höhe hm angenommen werden. m_ kommt von oben m_ kommt von unten enumerate item Wie hoch sind die Steighöhen h_ und h_ für allgemeine Massen m_ und m_? item Wie hoch sind sie im Spezialfall dass der obere Ball m_ viel leichter ist als der untere d.h. m_ll m_? enumerate
Solution:
enumerate item Nach dem Aufprall am Boden haben die beiden Bälle die Geschwindigkeit: m_gh fracm_v_^ Rightarrow v_ equiv v sqrtgh. Der Stossprozess zwischen den Bällen kurz über dem Boden ist für Bewegung nach oben für Bewegung nach unten: v'_ fracm_-m_-v+m_vm_+m_ fracm_-m_m_+m_v. Analog für die v'_: v'_ fracm_-m_v-m_vm_+m_ fracm_-m_m_+m_v. Damit lässt sich die maximale erreichbare Höhe berechnen: m_gh_ fracm_v_^ und daraus findet man: eqnarray* h_ & hleftfracm_-m_m_+m_right^mm h_ & hleftfracm_-m_m_+m_right^. eqnarray* item Ist m_ ll m_ können die eben gefundenen Gleichungen geschrieben werden als: eqnarray* h_ &approx& hleftfracm_m_right^ h mm h_ &approx& hleftfracm_m_right^ h. eqnarray* enumerate
Mit einer Apparatur können zwei Gummibälle aus der Anfangshöhe h exakt vertikal übereinander fallen gelassen werden m_ über m_. Der Aufprall am Boden und der kurz darauf folge gegenseitige Stoss sind völlig elastisch und gerade. Die Ausdehnung der Bälle ist zu vernachlässigen. Der Stoss zwischen den Bällen nach dem Aufprall kann auf der Höhe hm angenommen werden. m_ kommt von oben m_ kommt von unten enumerate item Wie hoch sind die Steighöhen h_ und h_ für allgemeine Massen m_ und m_? item Wie hoch sind sie im Spezialfall dass der obere Ball m_ viel leichter ist als der untere d.h. m_ll m_? enumerate
Solution:
enumerate item Nach dem Aufprall am Boden haben die beiden Bälle die Geschwindigkeit: m_gh fracm_v_^ Rightarrow v_ equiv v sqrtgh. Der Stossprozess zwischen den Bällen kurz über dem Boden ist für Bewegung nach oben für Bewegung nach unten: v'_ fracm_-m_-v+m_vm_+m_ fracm_-m_m_+m_v. Analog für die v'_: v'_ fracm_-m_v-m_vm_+m_ fracm_-m_m_+m_v. Damit lässt sich die maximale erreichbare Höhe berechnen: m_gh_ fracm_v_^ und daraus findet man: eqnarray* h_ & hleftfracm_-m_m_+m_right^mm h_ & hleftfracm_-m_m_+m_right^. eqnarray* item Ist m_ ll m_ können die eben gefundenen Gleichungen geschrieben werden als: eqnarray* h_ &approx& hleftfracm_m_right^ h mm h_ &approx& hleftfracm_m_right^ h. eqnarray* enumerate