Häufungspunkte einer Folge
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Sei a_n_n eine Folge in einem metrischen Raum Xd. Ein Punkt A in X heisst Häufungspunkt von a_n_n falls folge äquivalente Bedingungen erfüllt sind. abcliste abc Es gibt eine Teilfolge a_nk_k s.d. lim limits_k rightarrow infty a_nk A. abc Für alle epsilon und N in mathbbN gibt es ein n geq N mit da_nA epsilon. abcliste
Solution:
Beweis. Angenommen a gilt. Sei also a_nk_k eine konvergente Teilfolge von a_n_n mit Grenzwert A und sei epsilon . Dann existiert ein K in mathbbN mit da_nA epsilon für alle k geq K. Sei nun k geq K mit n_k geq N. Dann erfüllt n n_k die Bedingung da_nA epsilon wie gewollt und b ist erfüllt. Angenommen b gilt. Man möchte rekursiv eine Teilfolge a_nk_k finden mit da_n_kA frack für alle k in mathbbN. Diese konvergiert dann gegen A da für epsilon die Ungleichung da_n_lA epsilon für alle l fracespilon erfüllt ist. Sei epsilon und N. Dann gibt es ein n_ geq N mit da_nA . Nehme nun an dass n_ n_ ... n_k bereits konstriert sind mit da_n_lA fracl für alle l...k. Setze epsilon frack+ und N n_k+. Dann existiert nach Voraussetzung ein n_k+ geq N n_k mit da_n_k+A frack+ Beet Induktionsschritt man erhält durch Rekursion gewünschte Teilfolge a_n_k_k mit Grenzwert A.
Sei a_n_n eine Folge in einem metrischen Raum Xd. Ein Punkt A in X heisst Häufungspunkt von a_n_n falls folge äquivalente Bedingungen erfüllt sind. abcliste abc Es gibt eine Teilfolge a_nk_k s.d. lim limits_k rightarrow infty a_nk A. abc Für alle epsilon und N in mathbbN gibt es ein n geq N mit da_nA epsilon. abcliste
Solution:
Beweis. Angenommen a gilt. Sei also a_nk_k eine konvergente Teilfolge von a_n_n mit Grenzwert A und sei epsilon . Dann existiert ein K in mathbbN mit da_nA epsilon für alle k geq K. Sei nun k geq K mit n_k geq N. Dann erfüllt n n_k die Bedingung da_nA epsilon wie gewollt und b ist erfüllt. Angenommen b gilt. Man möchte rekursiv eine Teilfolge a_nk_k finden mit da_n_kA frack für alle k in mathbbN. Diese konvergiert dann gegen A da für epsilon die Ungleichung da_n_lA epsilon für alle l fracespilon erfüllt ist. Sei epsilon und N. Dann gibt es ein n_ geq N mit da_nA . Nehme nun an dass n_ n_ ... n_k bereits konstriert sind mit da_n_lA fracl für alle l...k. Setze epsilon frack+ und N n_k+. Dann existiert nach Voraussetzung ein n_k+ geq N n_k mit da_n_k+A frack+ Beet Induktionsschritt man erhält durch Rekursion gewünschte Teilfolge a_n_k_k mit Grenzwert A.