Exercise:
Ein Heissluftballon schwebt in Luft von cel bei einem Luftdruck von simbar Normdruck. Der Durchmesser des als kugelförmig anzunehmen Ballons beträgt m. Die Luft im Inneren des Ballons wird bei einer Temperatur von cel gehalten. enumerate item Welche Masse hat die Luft im Inneren des Ballons? item Welche Luftmasse verdrängt der Ballon? item Welche Nutzlast trägt der Ballon wenn Ballonhülle Korb Seile Steuerung und Gasbrenner zusammen .sit wiegen? item Die Temperatur im Inneren des Ballons werde um cel erhöht. Wie viele Kilogramm mehr gegenüber vorher könnte der Ballon dadurch in der Schwebe tragen? enumerate

Solution:
Vorbemerkung: Für die Lösung der Aufgabenteile c und d ist die Kenntnis des Auftriebs notwig!pt Geg.: T_LAcel.siK T_LB_cel.siK T_LB_cel.siK d_Bsimtextconst.;;Rightarrow;;r_Bsim p.sibartextconst. Aussruck. Da der Ballon offen ist kann zwischen dem Balloninneren und er Umgebung immer ein Druckausgleich stattfinden. Das Volumen der Ballonhülle bleibt konstant. Die Dichte der Luft ändert sich aber mit der Temperatur. enumerate item Ges.: m_LB Vorgehen: Die Masse lässt sich mit Hilfe von Dichte und Volumen bestimmen. Die Dichte der Luft lässt sich aus der Dichte bei Normalbedingungen im Vergleich mit den gegebenen Bedingungen errechnen. Das Volumen ist ein Kugelvolumen das man aus dem Durchmesser bzw. Radius des Ballons berechnen kann. Geg.: p_n. ^siPa T_n.siK rho_.sikg/m^ Formelbuch Da wir verschiedene Luftdichten benötigen leiten wir zuerst eine allgemeine Lösung zur Berechnung der Dichte her. Mit ptextconst. folgt: fracV_T_nfracV_T_;;xrightarrowVfracmrho;;fracfraccancelmrho_T_nfracfraccancelmrho_T_;;rightarrow;;fracrho_T_nfracrho_T_;;Rightarrow;;rho_fracrho_T_nT_ Damit ergeben sich folge Dichtewerte:vspacept Für cel: rho_dfracrho_ T_nT_LAunderline.sikg/m^vspacept Für cel: rho_dfracrho_ T_nT_LB_underline.sikg/m^vspacept Für cel: rho_dfracrho_ T_nT_LB_underline.sikg/m^vspacept Damit könnten wir nun m_LB berechnen: m_LB_V_B rho_fracpir_B^rho_mathbf.kg item Ges.: m_v Das verdrängte Luftvolumen Luft von cel entspricht dem Ballonvolumen. Damit erhält man anlalog zu Teilaufgabe a: m_vV_B rho_fracpir_B^rho_mathbf.kg item Geg.: m_B.sitsikg Ges.: Nutzlast m_N Für Schweben gilt Kräftegleichgewicht zwischen Auftriebskraft F_A und gesamter Gewichtskraft F_G des Ballons. Die Gewichtskraft setzt sich aus Nutzlast F_Nm_N g Gewichtskraft des Ballons selbst F_Bm_B g und Gewichtskraft der im Ballon enthaltenen Luft F_LBm_LB_ g zusammen. Also gilt: F_AF_GF_B+F_LB+F_N;;Rightarrow;;F_Nm_N gF_A-F_B-F_LB Für F_A gilt das Gesetz für die Auftriebskraft: F_AV_Brho_ g Damit erhalten wir: m_N cancelgV_Brho_ cancelg-m_B cancelg-m_LB cancelg;xrightarrowV_Brho_m_v;m_Nm_v-m_B-m_LBmathbfkg item Die Masse der Luft im Ballon nimmt ab da aus der starren Hülle wegen des Druckausgleichs Luft entweichen muss. Alle anderen Parameter bleiben gleich! Relevant ist also nur die Massifferenz der Luft im Ballon. Analog zu Teilaufgabe a berechnen wir die neu im Ballon enthaltene Luftmasse: m_LB_V_B rho_fracpir_B^rho_mathbf.kg Damit erhalten wir: Delta mm_LB_-m_LB_mathbf.kg enumerate