Exercise:
Wir betrachten ein Fadenpel der effektiven Länge L. Direkt unter dem Aufhängepunkt befindet sich eine waagerechte Stange welche die Bewegung des Fadens hemmt. Dadurch wird rechts von der Ruhelage die effektive Länge des Pels auf den Wert ell verkürzt vgl. Abb.~reffig:hp. figureH centering tikzpicturescale filldrawcolorblack!!white - rectangle .; filldrawcolorblack!!white .-. coordinate S circle .cm; path S -- ++ :. coordinate SS; drawcolorblack!!white SS -- ++ :. nodeabove xshiftmm yshift-mmStange; drawthick colorblue ---. arc ::. -- node above rightell ++:. coordinate sph; filldrawcolorblue sph circle .cm; drawdashed colorblue -.-- -; filldrawcolorblue!!white fillblue!!white- circle .cm; drawdotted - arc ::.; drawdotted - arc ::; drawdashed colorblue -- nodeabove leftL ++: coordinate sphl; filldrawcolorblue!!white sphl circle .cm; tikzpicture captionSkizze des Hemmungspels. labelfig:hp figure abclist abc Erkläre warum unter Vernachlässigung der Dämpfung bei kleinen Auslenkungen der folge Ausdruck für die Schwingungsdauer dieses gehemmten Pels gilt: hfill al T approx fracpisqrtg qtysqrtL + sqrtell. abc Skizziere qualitativ die Ortsfunktion yt des Pelkörpers entlang seiner Bahn. hfill abclist medskip In einem Praktikumsversuch wird die Periode für eine Gesamtlänge von L LDLO bei verschiedenen verkürzten Längen ell gemessen. Die Tab.~reftab:messdaten listet die Resultate. tableH centering renewcommandarraystretch. tabularxtextwidth|l|X|X|X|X|X|X|X|X|X| hline cellcolorlightgrayell/sicm & laOX & lbOX & lcOX & ldOX & leOX & lfOX & lgOX & lhOX & pmDlpOX hline cellcolorlightgrayT/sis & TaOX & TbOX & TcOX & TdOX & TeOX & TfOX & TgOX & ThOX & pmDTpOX hline tabularx captionGemessene verkürzte Längen ell und zugehörige Schwingungsdauern T. labeltab:messdaten table abclist setcounterabc setcounterenumii abc Berechne die vorausgesagte Periode Tpm Delta T für den Fall ell lDlO und führe eine Fehlerrechnung für diese Voraussage durch. Ist die Messung damit konsistent? Die Ausdrücke mit eingesetzten Grössen müssen ausnahmsweise nicht notiert werden es reichen formale Lösungen und Ergebnisse. hfill abc Zeichne ein Diagramm der Periode T als Funktion der Wurzel der verkürzten Länge sqrtell das mindestens eine halbe Seite füllt. hfill abc Passe von Hand eine Gerade auf die Daten an miss ihre Steigung und gib sie an inkl. Einheit!. hfill abc Bestimme aus der Steigung die Fallbeschleunigung im Praktikumszimmer ohne Fehlerrechnung. hfill pawnB abc Bei der Einstellung elllDlO wird das Pel um PO nach links ausgelenkt und losgelassen. Bestimme mit Hilfe von Energieerhaltung die Geschwindigkeit beim Durchgang durch die Ruhelage. hfill rookB abc Das Pel soll so schnell nach rechts geschwungen werden dass es einen vollständigen Kreis um die Stange herum beschreibt. Welche Bedingung muss dafür für die Geschwindigkeit am höchsten Punkt des Kreises gelten? newlinephantom. hfill rookB abclist

Solution:
abclist abc Für ein gewöhnliches Fadenpel der Länge L gilt für kleine Auslenkungen al T_ &approx pi sqrtfracLg. Weil das Hemmungspel die Hälfte der Periodauer links und die andere Hälfte rechts von der Stange ist gilt al T fracT_ + fracT_ &approx pi sqrtfracLg + pi sqrtfracellg fracpisqrtg qtysqrtL + sqrtell. abc siehe Abb.~reffig:diagloes figureH centering tikzpicture tkzInitxminxmaxymin-.ymax. tkzDrawXlabelt tkzDrawYlabelyt tkzFctvery thick darkred domain:*sin*pi/*x tikzpicture captionOrtsfunktion yt des Pelkörpers entlang seiner Bahn. labelfig:diagloes figure abc Wir berechnen zunächst die Periodauer ohne Berücksichtigung des Fehlers: al T TF T. Die maximale Periodauer im Rahmen der Fehler beträgt al sscTmax TmaxF Tmax die minimale entsprech al sscTmin TminF Tmin. Wir berechnen den Fehler aus der halben Differenz zwischen Maximum und Minimum: al Delta T DTF DTQ approx DTP. Die vorausgesagte Periode beträgt demnach al T round-mode uncertay round-precisionTX+-DTXs. Die Messung ist damit konsistent weil der angegebene Fehler in der Tabelle einen maximalen Wert von .s zulässt was im Fehlerbereich des obigen Ergebnisses liegt. abc siehe Abb.~reffig:regrdiag figureH centering tikzpicture tkzInitxminymaxyminxmaxystep. tkzDefPosfpevalsqrtlaOX/TaOX/AfpevalsqrtlbOX/TbOX/BfpevalsqrtlcOX/TcOX/CfpevalsqrtldOX/TdOX/DfpevalsqrtleOX/TeOX/EfpevalsqrtlfOX/TfOX/FfpevalsqrtlgOX/TgOX/GfpevalsqrtlhOX/ThOX/H tkzGrid tkzDrawXlabelsqrtell/sqrtsicm right tkzDrawYlabelT/sis tkzLabelXY tkzDrawPosABCDEFGH tkzFctdarkredvery thickdomain:mX*x+. tikzpicture captionPeriode T als Funktion der Wurzel der verkürzten Länge sqrtell. labelfig:regrdiag figure abc Die Steigung kann zum Beispiel aus dem ersten und letzten Messpaar berechnet werden: al m mF fracTaO - ThOsqrtla-sqrtlh m approx mS SolQtygfracpi^m^pi**/mX**/s abc al m fracpisqrtg g gF fracpi^qtym^ g approx gS abc SolQtyvsqrtgL-cosphisqrt*ncgX*LX-cosdPX al sscEpot sscEkin mgh fracmv^ v sqrtgh vF sqrt ncg qty-cosP v approx vS abc Im Grenzfall muss die Gewichtskraft des Pelkörpers gerade die Zentripetalkraft sein d.h. SolQtyvpsqrtgellsqrtncgX*laX al sscFZ sscFG fracmv^ell mg v' vpF sqrtncg la vpS Die Geschwindigkeit darf am höchsten Punkt den angegebenen Wert nich textbfunterschreiten. abclist Korrekturhinweise abclist abc Punkt für Schwingungsdauer eines Fadenpels Punkt für Argumentation Punkte für Kombination der Ausdrücke abc Punkt für korrekte Achsenbeschriftung Punkt für gleichmässigen Abstand zwischen jeweiligen Perioden Punkt für glqq schönegrqq Form ohne Ecken abc Punkte für Rechnung mit Ergebnis Punkt pro Zeile Punkt für Erklärung abc Punkt für genüg grosses Koordinatensystem Punkte für korrekte Achsenbeschriftung inkl. Labels Punkte für korrekt eingezeichnete Messpunkte . Punkte Abzug pro Fehler abc Punkt für im Diagramm durch die Messpunkte gezogene Gerade Punkte für Steigung je Punkt für Rechnung und Punkt für korrekte Lösung inkl. Einheit abc Punkt pro Zeile; Darstellungspunkt abc bis und mit zweite Zeile Punkt Punkt für Lösung ohne Trigo Punkte für Trigo Punkt für Einsetzen Punkt für Ergebnis abc bis und mit zweite Zeile Punkt Punkt für Lösung Punkt für Einsetzen Punkt für Ergebnis Punkt für glqq kleiner alsgrqq abclist