Exercise:
abcliste abc Wie sieht das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel mit Radius R innerhalb r R und ausserhalb r R aus? abc Wie sieht das korrespondiere Potential zu den beiden Bereichen aus? abc Wie die elektrostatische Energie? abcliste

Solution:
abcliste abc Man verwet das Gauss'sche Gesetz: tcbhighmathaufgabeo_A vecE ddvecA fracqepsilon_ Was für r R folges ergibt: o_A vecE ddvecA fracqepsilon_ E pi r^ fracqepsilon_ Rightarrow Er fracpiepsilon_ fracqr^ Für r R gilt: o_A vecE ddvecA fracq_texteingeschlossenepsilon_ was impliziert dass q_texteingeschlossen zuerst noch bestimmt werden muss: q_texteingeschlossen fracqfracpi R^ fracpi r^ q fracr^R^ Dies führt dann zu: o_A vecE ddvecA fracq_texteingeschlossenepsilon_ E pi r^ fracq fracr^R^epsilon_ Rightarrow Er fracpiepsilon_ fracqrR^ abc Fürs Potential gilt im Allgemeinen: tcbhighmathaufgabePhir _r^infty vecE ddvecr Für den Bereich r R ergibt dies dann: Phir _r^infty vecE ddvecr _r^infty fracpiepsilon_ fracqr^ddr fracpiepsilon_ fracqr Für den Bereich r R gilt hingegen: Phir _r^infty vecE ddvecr _r^R fracpiepsilon_ fracqR^ rddr + _R^infty fracpiepsilon_ fracqr^ddr fracqpiepsilon_ R^ leftfracR^-fracr^right+fracqpiepsilon_ fracR fracqpiepsilon_leftfracR-fracr^R^+fracRright fracqpiepsilon_leftfracR-fracr^R^right abc Die Formel um die elektrostatische Energie zu berechnen lautet: tcbhighmathaufgabeW fracepsilon_ _^infty vecE^ ddx^ In diesem Fall führt das zu: W piepsilon_ frac_^infty E^r^ ddvecr fracq^piepsilon_left_^R fracr^R^r^ ddr + _R^infty fracr^r^ddrright fracq^piepsilon_leftfracR+fracRright fracQ^piepsilon_R Dieser Ausdruck divergiert für Rrightarrow d.h. die Selbstenergie der Punktladung ist in der Tat infty. abcliste