Exercise:
Sei U subseteq mathbbR^n offen und sternförmig. Ein stetig diffbares Vektorfeld f:U rightarrow mathbbR^n ist genau dann konservativ wenn f den Integrabilitätsbedingungen partial_kf_j partial_jf_k für alle jk in ...n genügt.

Solution:
Beweis. Die Notwigkeit der Integrabilitätsbedingungen wurde bereits in Satz . bewiesen. Für die Umkehrung verwet man ein Zentrum z in U und das Wegegral von f über die gerade Strecke von z nach x in U um eine Funktion F:U rightarrow mathbbR durch Fx _^ langle fz+tx-zx-zrangle ddt für x in U zu definieren. Entsprech dem Beweis von Satz . stellt F gerade einen Kandidaten für ein Potential von f dar. Man fixiert ein j in ...n und betrachtet als Vorbereitung zur Berechnung von partial_jF zuerst für h in mathbbR^n partial_hf_j _k^n h_kpartial_kf_j _k^n h_kpartial_jf_k nach den vorausgesetzten *. Nach Satz . Differenzierbarkeit von Parameteregralen existiert für j in ...n die partielle Ableitung partial_jF der Funktion F die gleichzeitig als Weg- und als Parameteregral definiert ist. Des Weiteren gilt für x in U partial_jFxpartial_x_j_^ left _k^n f_k left z+tx-zright x_k-z_kright ddt _^ left _k^n partial_jf_kleft z+tx-zright tx_k-z_k+f_jleft z+tx-zrightright ddt da einzig der Term mit kj die Produktregel erfordert und da die partielle Ableitung von x in U mapsto f_kz+tx-z nach x_j durch tpartial_jf_kz+tx-z für x in U gegeben ist. Letzteres folgt aus der mehrdimensionalen Kettenregel oder wie folgt: man definiert für t geq die Funktion x mapsto psi_txf_kz+tx-z und betrachtet die partielle Ableitung partial_jpsi_tx. Für t berechnet man direkt partial_jpsi_tx lim limits_s rightarrow fracsf_kz+tx+se_j-z-f_kz+tx-z tlim limits_s rightarrow fracstf_kz+tx-z+ste_j-f_kz+tx-z tpartial_jf_kz+tx-z. Für t hängt psi_f_kz ja nicht von x ab womit die partielle Ableitung partial_jpsi_ verschwindet. Man setzt nun hx-z verwet in und erhält mit partieller Integration partial_jFx _^ t partial_hf_jz+th ddt + _^ f_jz+th ddt tf_jz+th_^ - _^ f_jz+thddt+ _^ f_jz+th ddt f_jz+h f_jx Daher ist fnabla F F ist stetig diffbar nach Satz . und der Satz folgt aus der Charakterisierung der Konservativität in Satz ..