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https://texercises.com/exercise/integral-partialbruchzerlegung-8/
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Exercise:
displaystyle fxfracx^-x-. Berechne die Stammfunktion.

Solution:
bf Variante : Der Nenner kann wie folgt quadratisch ergänzt werden: fracx^-x- ddx fracsqrtx-fracsqrt^-frac ddx fracy^-frac fracsqrt ddy fracz^- fracsqrt fracsqrt ddz -frac operatornameatanhleftzright + c -frac operatornameatanhleft frac x-frac right + c bf Variante : Der Nenner dieser gebrochen rationalen Funktion hat die folgen Nullstellen: x_frac quad x_- Die Partialbruchzerlegung der Funktion ist damit sehr einfach: fracx^-x- fraca_x-frac + fraca_x+ fraca_x++a_leftx-fracrightleftx-fracright x+ fraca_x+a_ + a_x -fraca_leftx-fracright x+ Ein Koeffizientenvergleich führt auf folges Gleichungssystem: partialkv * arraylrcrcr x^:qquad&qquad & a_ &+& a_ x^:qquad&qquad & a_ &-& frac a_ array * tcblower Die Lösung ist a_frac sowie a_-frac. Das Integral kann somit wie folgt gelöst werden: Fx fracx^-x- ddx leftfracfracx-frac - fracfracx+ right ddx frac leftlnx--lnx+right+c frac fraclnx-lnx+ + c
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Exercise:
displaystyle fxfracx^-x-. Berechne die Stammfunktion.

Solution:
bf Variante : Der Nenner kann wie folgt quadratisch ergänzt werden: fracx^-x- ddx fracsqrtx-fracsqrt^-frac ddx fracy^-frac fracsqrt ddy fracz^- fracsqrt fracsqrt ddz -frac operatornameatanhleftzright + c -frac operatornameatanhleft frac x-frac right + c bf Variante : Der Nenner dieser gebrochen rationalen Funktion hat die folgen Nullstellen: x_frac quad x_- Die Partialbruchzerlegung der Funktion ist damit sehr einfach: fracx^-x- fraca_x-frac + fraca_x+ fraca_x++a_leftx-fracrightleftx-fracright x+ fraca_x+a_ + a_x -fraca_leftx-fracright x+ Ein Koeffizientenvergleich führt auf folges Gleichungssystem: partialkv * arraylrcrcr x^:qquad&qquad & a_ &+& a_ x^:qquad&qquad & a_ &-& frac a_ array * tcblower Die Lösung ist a_frac sowie a_-frac. Das Integral kann somit wie folgt gelöst werden: Fx fracx^-x- ddx leftfracfracx-frac - fracfracx+ right ddx frac leftlnx--lnx+right+c frac fraclnx-lnx+ + c
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
differentialrechnung, gebrochen, integralrechnung, mathematik, partialbruchzerlegung, rational
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Difficulty
(3, default)
Points
3 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator uz
Decoration