Exercise:
nprvmulticols prvmulticols abclist abc displaystyle fracx^ + ddx abc displaystyle frac-x^ - ddx abc displaystyle frac - x^ ddx abc displaystyle fracx^ - ddx abclist multicols

Solution:
abcliste abc Der Nenner der Funktion fx hat die beiden komplexen rein imaginären Nullstellen -i und +i. Soll die Funktion in mathbbR egriert werden kann sie also nicht weiter in Partialbrüche zerlegt werden. Das Integral ist sehr elementar und kann mit einer zugegeben anfangs nicht offensichtlichen Substitution gelöst werden: Fx tcbhighmathaufgabe fracx^+ ddx substitutionx:tan y fracsin ycos y quad ddxfraccos^ yddy fractan^ y+ fraccos^ yddy fracfracsin^ ycos^ y+ fraccos^ yddy fracsin^ y + cos^ y ddy ddy y + c tcbhighmathloesung arctan x + c %b abc Fx tcbhighmathaufgabe frac-x^- ddx - fracx^+ ddx substitutionx:tan y fracsin ycos y quad ddxfraccos^ yddy - fractan^ y+ fraccos^ yddy - fracfracsin^ ycos^ y+ fraccos^ yddy - fracsin^ y + cos^ y ddy - ddy + c -y + c tcbhighmathloesung - arctan x + c %c abc Das Integral kann auch mit geeigneter Substitution gelöst werden: Fx tcbhighmathaufgabe frac-x^ ddx substitutionx:tanh y quad ddx -tanh^ yddy frac-tanh^ y -tanh^ yddy ddy y + c tcbhighmathloesungoperatornameartanh x + c atan x + c Alternativ könnte man auch den Integranden in Teilbrüche zerlegen also frac-x^ frac+x-x fracfrac+x + frac frac-x und dann egrieren: Fx tcbhighmathaufgabe frac-x^ ddx leftfracfrac+x + frac frac-xright ddx frac ln+x - frac ln-x + c tcbhighmathloesungfrac lnfrac+x-x + c operatornameartanh x + c Die beiden Lösungen sind identisch weil atan x gerade über die Logarithmus-Beziehung frac lnfracx+x- definiert ist. Das Differenzieren des Tangens hyperbolicus sieht wie folgt aus: fracddddxtanh x fracddddxfracsinh xcosh x fraccosh^ x - sinh^ xcosh^ x -tanh^ x %d abc Über einen Vorzeichenwechsel kann die Funktion auf eine bekannte Funktion zurückgeführt werden. Fx fracx^- ddx frac--x^ ddx - tcbhighmathaufgabe frac-x^ ddx substitutionx:tanh y quad ddx -tanh^ yddy - frac-tanh^ y -tanh^ yddy - ddy -y + c tcbhighmathloesung-operatornameartanh x + c -frac lnfrac+x-x + c frac lnfrac-x+x + c abcliste