Exercise:
nprvmulticols prvmulticols abclist abc displaystyle fracx^ + x + ddx abc displaystyle fracx^ - x + ddx abc displaystyle fracx^ + x - ddx abc displaystyle fracx^ - x - ddx abclist multicols

Solution:
abcliste %a abc Der Nenner dieser gebrochen rationalen Funktion hat keine reelle Nullstelle da sqrtb^-ac sqrt^- in mathbbC. Mit quadratischem Ergänzen findet man Folges: x^+x+ leftx+fracright^ + frac Damit kann die Integration dieser Funktion auf bereits bekannte Integrale zurückgeführt werden in diesem Fall auf displaystyle fracx^+ ddx. Fx tcbhighmathaufgabe fracx^+x+ ddx fracleftx+fracright^ + frac ddx fracfrac fracfrac leftx+fracright^ + ddx substitutiony:x+frac quad ddxddy frac fracfrac leftyright^ + ddy frac fracleftfracsqrtyright^ + ddy substitutionz: fracsqrty quad ddy fracsqrtddz frac fracz^ + fracsqrtddz frac fracsqrt arctan z + c fracsqrt arctanfracsqrty+c fracsqrt arctanfracsqrtx+frac+c tcbhighmathloesungfracsqrt arctanfracx+sqrt+c %b abc Fx fracx^-x+ ddx frac leftx-fracright^ + fracddx fracfrac fracfracleftx-fracright^+ ddx substitutiony:x-frac quad ddxddy frac fracfracy^+ ddy frac fracleftfracsqrtyright^+ ddy substitutionz: fracsqrty quad ddy fracsqrtddz frac fracz^+ ddz fracsqrt arctanz + C fracsqrt arctanfracsqrty + C fracsqrt arctanfracsqrtleftx-fracright + C fracsqrt arctanfracx-sqrt+C %c abc Der Nenner dieser gebrochen rationalen Funktion hat zwei relle Nullstellen x_ frac-+sqrt quad x_frac--sqrt womit es zwei Varianten gibt diese Aufgabe zu lösen. compactenum item. textbfQuadratische Ergänzung Mittels quadratischer Ergänzung findet man fracx^+x- fracleftx+fracright^-frac womit das Integral wie folgt gelöst werden kann: Fx tcbhighmathaufgabe fracx^+x- ddx fracleftx+fracright^-frac ddx fracfrac fracfracleftx+fracright^- ddx fracfrac fracleftfracsqrtx+fracsqrtright^- ddx substitutiony: fracsqrtx+fracsqrt quad ddx fracsqrtddy frac fracy^- fracsqrtddy frac fracsqrt tcbhighmathalready fracy^- ddy fracsqrt operatornameartanh y + c tcbhighmathloesung fracsqrt operatornameartanhleftfracx+sqrtright+c item. textbfPartialbruchzerlegung Der Bruch kann aufgrund der beiden reellen Nullstellen als fracx^+x- fraca_x-x_ + fraca_x-x_ fraca_x-leftfrac-+sqrtright + fraca_x-leftfrac--sqrtright -fracsqrt leftt x + sqrt + right - fracsqrt left- x + sqrt - right geschrieben werden somit das Integral auch wie folgt gelöst werden kann: fracx^+x- ddx left-fracsqrt left x + sqrt + right - fracsqrt left- x + sqrt - right right ddx -fracsqrt lndots -fracsqrt lndots compactenum %d abc Der Nenner dieser gebrochen rationalen Funktion hat zwei relle Nullstellen x_ frac+sqrt quad x_frac-sqrt womit es zwei Varianten gibt diese Aufgabe zu lösen. compactenum item. textbfQuadratische Ergänzung Viel einfacher ist es allerdings die Funktion mittels quadratischer Ergänzung auf folge Form zu bringen: fracx^-x- fracleftx-fracright^-frac Dann fährt man folgermassen fort: Fx fracx^-x- ddx fracleftx-fracright^-frac ddx -fracsqrt operatornameartanhleftfracx-sqrtright item. textbfPartialbruchzerlegung fracx^-x- fraca_x-x_ + fraca_x-x_ compactenum abcliste