Integraltest für Reihen
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
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Exercise:
Sei f:infty rightarrow mathbbR_geq eine monoton falle Funktion. Dann gilt _n^infty fn leq _^infty fx ddx leq _n^infty fn Insbesondere konvergiert die Reihe _n^infty fn genau dann wenn das uneigentliche Integral _^infty fx ddx konvergiert. Dies gilt analog für Integrale der Form _N^infty fx ddx für N in mathbbN.
Solution:
Beweis. Für n in mathbbN und einen beliebigen Zwischenpunkt x in nn+ gilt nach Monotonie von f die Ungleichung fn+leq fxleq fn und somit fn+leq _n^n+ fx ddxleq fn Nach Summation von bis n erhält man mit Intervalladditivität des Riemann-Integrals _n^n+ fl _k^n fk+ leq _^n+ fx ddx leq _k^n fk Falls das uneigentliche Integral _^infty fx ddx existiert dann folgt _l^n+ fl leq _^n+ fx ddx leq _^infty fx ddx Daher ist die monoton wachse Folgt left_l^n+ flright nach oben beschränkt und konvergiert somit nach Satz .. Insbesondere gilt auch _l^infty fl leq _^infty fx ddx. Falls _k^infty fk konvergiert dann ist für b und n lfloor b rfloor _^b fx ddx leq _^n+ fx ddx leq _k^infty fk Nach Lemma . ist somit das uneigentliche Integral _^infty fx ddx konvergent und durch die Zahl _k^infty fk beschränkt.
Sei f:infty rightarrow mathbbR_geq eine monoton falle Funktion. Dann gilt _n^infty fn leq _^infty fx ddx leq _n^infty fn Insbesondere konvergiert die Reihe _n^infty fn genau dann wenn das uneigentliche Integral _^infty fx ddx konvergiert. Dies gilt analog für Integrale der Form _N^infty fx ddx für N in mathbbN.
Solution:
Beweis. Für n in mathbbN und einen beliebigen Zwischenpunkt x in nn+ gilt nach Monotonie von f die Ungleichung fn+leq fxleq fn und somit fn+leq _n^n+ fx ddxleq fn Nach Summation von bis n erhält man mit Intervalladditivität des Riemann-Integrals _n^n+ fl _k^n fk+ leq _^n+ fx ddx leq _k^n fk Falls das uneigentliche Integral _^infty fx ddx existiert dann folgt _l^n+ fl leq _^n+ fx ddx leq _^infty fx ddx Daher ist die monoton wachse Folgt left_l^n+ flright nach oben beschränkt und konvergiert somit nach Satz .. Insbesondere gilt auch _l^infty fl leq _^infty fx ddx. Falls _k^infty fk konvergiert dann ist für b und n lfloor b rfloor _^b fx ddx leq _^n+ fx ddx leq _k^infty fk Nach Lemma . ist somit das uneigentliche Integral _^infty fx ddx konvergent und durch die Zahl _k^infty fk beschränkt.
Meta Information
Exercise:
Sei f:infty rightarrow mathbbR_geq eine monoton falle Funktion. Dann gilt _n^infty fn leq _^infty fx ddx leq _n^infty fn Insbesondere konvergiert die Reihe _n^infty fn genau dann wenn das uneigentliche Integral _^infty fx ddx konvergiert. Dies gilt analog für Integrale der Form _N^infty fx ddx für N in mathbbN.
Solution:
Beweis. Für n in mathbbN und einen beliebigen Zwischenpunkt x in nn+ gilt nach Monotonie von f die Ungleichung fn+leq fxleq fn und somit fn+leq _n^n+ fx ddxleq fn Nach Summation von bis n erhält man mit Intervalladditivität des Riemann-Integrals _n^n+ fl _k^n fk+ leq _^n+ fx ddx leq _k^n fk Falls das uneigentliche Integral _^infty fx ddx existiert dann folgt _l^n+ fl leq _^n+ fx ddx leq _^infty fx ddx Daher ist die monoton wachse Folgt left_l^n+ flright nach oben beschränkt und konvergiert somit nach Satz .. Insbesondere gilt auch _l^infty fl leq _^infty fx ddx. Falls _k^infty fk konvergiert dann ist für b und n lfloor b rfloor _^b fx ddx leq _^n+ fx ddx leq _k^infty fk Nach Lemma . ist somit das uneigentliche Integral _^infty fx ddx konvergent und durch die Zahl _k^infty fk beschränkt.
Sei f:infty rightarrow mathbbR_geq eine monoton falle Funktion. Dann gilt _n^infty fn leq _^infty fx ddx leq _n^infty fn Insbesondere konvergiert die Reihe _n^infty fn genau dann wenn das uneigentliche Integral _^infty fx ddx konvergiert. Dies gilt analog für Integrale der Form _N^infty fx ddx für N in mathbbN.
Solution:
Beweis. Für n in mathbbN und einen beliebigen Zwischenpunkt x in nn+ gilt nach Monotonie von f die Ungleichung fn+leq fxleq fn und somit fn+leq _n^n+ fx ddxleq fn Nach Summation von bis n erhält man mit Intervalladditivität des Riemann-Integrals _n^n+ fl _k^n fk+ leq _^n+ fx ddx leq _k^n fk Falls das uneigentliche Integral _^infty fx ddx existiert dann folgt _l^n+ fl leq _^n+ fx ddx leq _^infty fx ddx Daher ist die monoton wachse Folgt left_l^n+ flright nach oben beschränkt und konvergiert somit nach Satz .. Insbesondere gilt auch _l^infty fl leq _^infty fx ddx. Falls _k^infty fk konvergiert dann ist für b und n lfloor b rfloor _^b fx ddx leq _^n+ fx ddx leq _k^infty fk Nach Lemma . ist somit das uneigentliche Integral _^infty fx ddx konvergent und durch die Zahl _k^infty fk beschränkt.
Contained in these collections: