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https://texercises.com/exercise/integraltest-fur-reihen/
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Exercise:
Sei f:infty rightarrow mathbbR_geq eine monoton falle Funktion. Dann gilt _n^infty fn leq _^infty fx ddx leq _n^infty fn Insbesondere konvergiert die Reihe _n^infty fn genau dann wenn das uneigentliche Integral _^infty fx ddx konvergiert. Dies gilt analog für Integrale der Form _N^infty fx ddx für N in mathbbN.

Solution:
Beweis. Für n in mathbbN und einen beliebigen Zwischenpunkt x in nn+ gilt nach Monotonie von f die Ungleichung fn+leq fxleq fn und somit fn+leq _n^n+ fx ddxleq fn Nach Summation von bis n erhält man mit Intervalladditivität des Riemann-Integrals _n^n+ fl _k^n fk+ leq _^n+ fx ddx leq _k^n fk Falls das uneigentliche Integral _^infty fx ddx existiert dann folgt _l^n+ fl leq _^n+ fx ddx leq _^infty fx ddx Daher ist die monoton wachse Folgt left_l^n+ flright nach oben beschränkt und konvergiert somit nach Satz .. Insbesondere gilt auch _l^infty fl leq _^infty fx ddx. Falls _k^infty fk konvergiert dann ist für b und n lfloor b rfloor _^b fx ddx leq _^n+ fx ddx leq _k^infty fk Nach Lemma . ist somit das uneigentliche Integral _^infty fx ddx konvergent und durch die Zahl _k^infty fk beschränkt.
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\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Sei f:infty rightarrow mathbbR_geq eine monoton falle Funktion. Dann gilt _n^infty fn leq _^infty fx ddx leq _n^infty fn Insbesondere konvergiert die Reihe _n^infty fn genau dann wenn das uneigentliche Integral _^infty fx ddx konvergiert. Dies gilt analog für Integrale der Form _N^infty fx ddx für N in mathbbN.

Solution:
Beweis. Für n in mathbbN und einen beliebigen Zwischenpunkt x in nn+ gilt nach Monotonie von f die Ungleichung fn+leq fxleq fn und somit fn+leq _n^n+ fx ddxleq fn Nach Summation von bis n erhält man mit Intervalladditivität des Riemann-Integrals _n^n+ fl _k^n fk+ leq _^n+ fx ddx leq _k^n fk Falls das uneigentliche Integral _^infty fx ddx existiert dann folgt _l^n+ fl leq _^n+ fx ddx leq _^infty fx ddx Daher ist die monoton wachse Folgt left_l^n+ flright nach oben beschränkt und konvergiert somit nach Satz .. Insbesondere gilt auch _l^infty fl leq _^infty fx ddx. Falls _k^infty fk konvergiert dann ist für b und n lfloor b rfloor _^b fx ddx leq _^n+ fx ddx leq _k^infty fk Nach Lemma . ist somit das uneigentliche Integral _^infty fx ddx konvergent und durch die Zahl _k^infty fk beschränkt.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, proof, reihe
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Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration
File
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