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https://texercises.com/exercise/integration-von-potenzreihen/
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Exercise:
Sei fx _n^infty c_nx^n eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten c_n_n in mathbbN_ und Konvergenzradius R. Dann definiert Fx _n^infty fracc_nn+x^n+ eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzradius R und es gilt _a^b fx ddx Fb-Fa für alle ab in -RR.

Solution:
Beweis. Man beweist zuerst die Behauptung über den Konvergenzradius R. Sei S der Konvergenzradius der Reihe _l^infty fracc_l-lx^l _n^infty fracc_nn+x^n+. Falls _n^infty c_nx^n absolut konvergiert dann konvergiert _n^infty fracc_nn+x^n+ ebenfalls absolut da left|fracc_nn+x^n+right| leq |x||c_nx^n| für alle n in mathbbN_. Dies beweist S geq R auf Grund der Eigenschafte des Konvergenzradiuses. Falls umgekehrt _n^infty fracc_nn+x^n+ konvergiert dann gibt es ein M mit left|fracc_nn+x^nright| leq M für alle n in mathbbN_. Für y in -xx ist dann |c_ny^n| left|fracc_nn+x^nright|n+left|fracyxright|^n leq Mn+left|fracyxright|^n und daher lim textsup_n rightarrow inftysqrtn|c_n|y^n leq lim limits_n rightarrow inftysqrtnMn+left|fracyxright|^n left|fracyxright| Aus dem Wurzelkriterium folgt daher die Konvergenz von _n^infty c_ny^n. Dies beweist die umgekehrte Ungleichung S leq R. Daher gilt SR und der erste Teil des Satzes ist bewiesen. Seien nun ab in -RR mit a b. Man betrachte die Polynome f_Nx _n^infty c_nx^n und verwe Satz . um _a^b f_Nx ddx _n^N fracc_nn+b^n+-_n^N fracc_nn+a^n+ zu erhalten. Auf Grund von Satz . konvergiert die Funktionenfolge f_Nx der Partialmen der Potenzreihe gleichmässig gegen fx auf ab. Lässt man nun N gegen Unlich gehen ergibt sich unter Verwung von Satz . dass _a^b fx ddx lim limits_N rightarrow infty_a^b f_Nx ddx Fb-Fa
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\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Sei fx _n^infty c_nx^n eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten c_n_n in mathbbN_ und Konvergenzradius R. Dann definiert Fx _n^infty fracc_nn+x^n+ eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzradius R und es gilt _a^b fx ddx Fb-Fa für alle ab in -RR.

Solution:
Beweis. Man beweist zuerst die Behauptung über den Konvergenzradius R. Sei S der Konvergenzradius der Reihe _l^infty fracc_l-lx^l _n^infty fracc_nn+x^n+. Falls _n^infty c_nx^n absolut konvergiert dann konvergiert _n^infty fracc_nn+x^n+ ebenfalls absolut da left|fracc_nn+x^n+right| leq |x||c_nx^n| für alle n in mathbbN_. Dies beweist S geq R auf Grund der Eigenschafte des Konvergenzradiuses. Falls umgekehrt _n^infty fracc_nn+x^n+ konvergiert dann gibt es ein M mit left|fracc_nn+x^nright| leq M für alle n in mathbbN_. Für y in -xx ist dann |c_ny^n| left|fracc_nn+x^nright|n+left|fracyxright|^n leq Mn+left|fracyxright|^n und daher lim textsup_n rightarrow inftysqrtn|c_n|y^n leq lim limits_n rightarrow inftysqrtnMn+left|fracyxright|^n left|fracyxright| Aus dem Wurzelkriterium folgt daher die Konvergenz von _n^infty c_ny^n. Dies beweist die umgekehrte Ungleichung S leq R. Daher gilt SR und der erste Teil des Satzes ist bewiesen. Seien nun ab in -RR mit a b. Man betrachte die Polynome f_Nx _n^infty c_nx^n und verwe Satz . um _a^b f_Nx ddx _n^N fracc_nn+b^n+-_n^N fracc_nn+a^n+ zu erhalten. Auf Grund von Satz . konvergiert die Funktionenfolge f_Nx der Partialmen der Potenzreihe gleichmässig gegen fx auf ab. Lässt man nun N gegen Unlich gehen ergibt sich unter Verwung von Satz . dass _a^b fx ddx lim limits_N rightarrow infty_a^b f_Nx ddx Fb-Fa
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, integralrechnung, potenzreihe, proof
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Difficulty
(5, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration
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