Integration von Potenzreihen
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
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Exercise:
Sei fx _n^infty c_nx^n eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten c_n_n in mathbbN_ und Konvergenzradius R. Dann definiert Fx _n^infty fracc_nn+x^n+ eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzradius R und es gilt _a^b fx ddx Fb-Fa für alle ab in -RR.
Solution:
Beweis. Man beweist zuerst die Behauptung über den Konvergenzradius R. Sei S der Konvergenzradius der Reihe _l^infty fracc_l-lx^l _n^infty fracc_nn+x^n+. Falls _n^infty c_nx^n absolut konvergiert dann konvergiert _n^infty fracc_nn+x^n+ ebenfalls absolut da left|fracc_nn+x^n+right| leq |x||c_nx^n| für alle n in mathbbN_. Dies beweist S geq R auf Grund der Eigenschafte des Konvergenzradiuses. Falls umgekehrt _n^infty fracc_nn+x^n+ konvergiert dann gibt es ein M mit left|fracc_nn+x^nright| leq M für alle n in mathbbN_. Für y in -xx ist dann |c_ny^n| left|fracc_nn+x^nright|n+left|fracyxright|^n leq Mn+left|fracyxright|^n und daher lim textsup_n rightarrow inftysqrtn|c_n|y^n leq lim limits_n rightarrow inftysqrtnMn+left|fracyxright|^n left|fracyxright| Aus dem Wurzelkriterium folgt daher die Konvergenz von _n^infty c_ny^n. Dies beweist die umgekehrte Ungleichung S leq R. Daher gilt SR und der erste Teil des Satzes ist bewiesen. Seien nun ab in -RR mit a b. Man betrachte die Polynome f_Nx _n^infty c_nx^n und verwe Satz . um _a^b f_Nx ddx _n^N fracc_nn+b^n+-_n^N fracc_nn+a^n+ zu erhalten. Auf Grund von Satz . konvergiert die Funktionenfolge f_Nx der Partialmen der Potenzreihe gleichmässig gegen fx auf ab. Lässt man nun N gegen Unlich gehen ergibt sich unter Verwung von Satz . dass _a^b fx ddx lim limits_N rightarrow infty_a^b f_Nx ddx Fb-Fa
Sei fx _n^infty c_nx^n eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten c_n_n in mathbbN_ und Konvergenzradius R. Dann definiert Fx _n^infty fracc_nn+x^n+ eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzradius R und es gilt _a^b fx ddx Fb-Fa für alle ab in -RR.
Solution:
Beweis. Man beweist zuerst die Behauptung über den Konvergenzradius R. Sei S der Konvergenzradius der Reihe _l^infty fracc_l-lx^l _n^infty fracc_nn+x^n+. Falls _n^infty c_nx^n absolut konvergiert dann konvergiert _n^infty fracc_nn+x^n+ ebenfalls absolut da left|fracc_nn+x^n+right| leq |x||c_nx^n| für alle n in mathbbN_. Dies beweist S geq R auf Grund der Eigenschafte des Konvergenzradiuses. Falls umgekehrt _n^infty fracc_nn+x^n+ konvergiert dann gibt es ein M mit left|fracc_nn+x^nright| leq M für alle n in mathbbN_. Für y in -xx ist dann |c_ny^n| left|fracc_nn+x^nright|n+left|fracyxright|^n leq Mn+left|fracyxright|^n und daher lim textsup_n rightarrow inftysqrtn|c_n|y^n leq lim limits_n rightarrow inftysqrtnMn+left|fracyxright|^n left|fracyxright| Aus dem Wurzelkriterium folgt daher die Konvergenz von _n^infty c_ny^n. Dies beweist die umgekehrte Ungleichung S leq R. Daher gilt SR und der erste Teil des Satzes ist bewiesen. Seien nun ab in -RR mit a b. Man betrachte die Polynome f_Nx _n^infty c_nx^n und verwe Satz . um _a^b f_Nx ddx _n^N fracc_nn+b^n+-_n^N fracc_nn+a^n+ zu erhalten. Auf Grund von Satz . konvergiert die Funktionenfolge f_Nx der Partialmen der Potenzreihe gleichmässig gegen fx auf ab. Lässt man nun N gegen Unlich gehen ergibt sich unter Verwung von Satz . dass _a^b fx ddx lim limits_N rightarrow infty_a^b f_Nx ddx Fb-Fa
Meta Information
Exercise:
Sei fx _n^infty c_nx^n eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten c_n_n in mathbbN_ und Konvergenzradius R. Dann definiert Fx _n^infty fracc_nn+x^n+ eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzradius R und es gilt _a^b fx ddx Fb-Fa für alle ab in -RR.
Solution:
Beweis. Man beweist zuerst die Behauptung über den Konvergenzradius R. Sei S der Konvergenzradius der Reihe _l^infty fracc_l-lx^l _n^infty fracc_nn+x^n+. Falls _n^infty c_nx^n absolut konvergiert dann konvergiert _n^infty fracc_nn+x^n+ ebenfalls absolut da left|fracc_nn+x^n+right| leq |x||c_nx^n| für alle n in mathbbN_. Dies beweist S geq R auf Grund der Eigenschafte des Konvergenzradiuses. Falls umgekehrt _n^infty fracc_nn+x^n+ konvergiert dann gibt es ein M mit left|fracc_nn+x^nright| leq M für alle n in mathbbN_. Für y in -xx ist dann |c_ny^n| left|fracc_nn+x^nright|n+left|fracyxright|^n leq Mn+left|fracyxright|^n und daher lim textsup_n rightarrow inftysqrtn|c_n|y^n leq lim limits_n rightarrow inftysqrtnMn+left|fracyxright|^n left|fracyxright| Aus dem Wurzelkriterium folgt daher die Konvergenz von _n^infty c_ny^n. Dies beweist die umgekehrte Ungleichung S leq R. Daher gilt SR und der erste Teil des Satzes ist bewiesen. Seien nun ab in -RR mit a b. Man betrachte die Polynome f_Nx _n^infty c_nx^n und verwe Satz . um _a^b f_Nx ddx _n^N fracc_nn+b^n+-_n^N fracc_nn+a^n+ zu erhalten. Auf Grund von Satz . konvergiert die Funktionenfolge f_Nx der Partialmen der Potenzreihe gleichmässig gegen fx auf ab. Lässt man nun N gegen Unlich gehen ergibt sich unter Verwung von Satz . dass _a^b fx ddx lim limits_N rightarrow infty_a^b f_Nx ddx Fb-Fa
Sei fx _n^infty c_nx^n eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten c_n_n in mathbbN_ und Konvergenzradius R. Dann definiert Fx _n^infty fracc_nn+x^n+ eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzradius R und es gilt _a^b fx ddx Fb-Fa für alle ab in -RR.
Solution:
Beweis. Man beweist zuerst die Behauptung über den Konvergenzradius R. Sei S der Konvergenzradius der Reihe _l^infty fracc_l-lx^l _n^infty fracc_nn+x^n+. Falls _n^infty c_nx^n absolut konvergiert dann konvergiert _n^infty fracc_nn+x^n+ ebenfalls absolut da left|fracc_nn+x^n+right| leq |x||c_nx^n| für alle n in mathbbN_. Dies beweist S geq R auf Grund der Eigenschafte des Konvergenzradiuses. Falls umgekehrt _n^infty fracc_nn+x^n+ konvergiert dann gibt es ein M mit left|fracc_nn+x^nright| leq M für alle n in mathbbN_. Für y in -xx ist dann |c_ny^n| left|fracc_nn+x^nright|n+left|fracyxright|^n leq Mn+left|fracyxright|^n und daher lim textsup_n rightarrow inftysqrtn|c_n|y^n leq lim limits_n rightarrow inftysqrtnMn+left|fracyxright|^n left|fracyxright| Aus dem Wurzelkriterium folgt daher die Konvergenz von _n^infty c_ny^n. Dies beweist die umgekehrte Ungleichung S leq R. Daher gilt SR und der erste Teil des Satzes ist bewiesen. Seien nun ab in -RR mit a b. Man betrachte die Polynome f_Nx _n^infty c_nx^n und verwe Satz . um _a^b f_Nx ddx _n^N fracc_nn+b^n+-_n^N fracc_nn+a^n+ zu erhalten. Auf Grund von Satz . konvergiert die Funktionenfolge f_Nx der Partialmen der Potenzreihe gleichmässig gegen fx auf ab. Lässt man nun N gegen Unlich gehen ergibt sich unter Verwung von Satz . dass _a^b fx ddx lim limits_N rightarrow infty_a^b f_Nx ddx Fb-Fa
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