Exercise:
Um einen homogenen Zylinder mit der Masse m und dem Radius R sei eine Schnur gewickelt. Sie werde festgehalten währ der Zylinder vertikal nach unten fällt. abcliste abc Berechne die Beschleunigung des Zylinders nach unten. abc Bestimme die Zugkraft in der Schnur. abcliste

Solution:
center tikzpicturelatex filldrawcolorblack fillblack!!white circle cm; drawthick colorblack snakecoilsegment aspect segment amplitude.pt segment lengthpt- ---- nodeabove FZ; drawthick- red --- nodebelow FG; tikzpicture center abcliste abc Auf den Zylinder das Jojo wirken eigentlich zwei Kräfte: Die Gewichtskraft nach unten und die Zugkraft der Schnur nach oben. Gemäss Newton gilt ma F_updownarrow FG-FZ Es gibt jetzt zwei Sichtweisen: Entweder die Zugkraft bewirkt ein Drehmoment dann dreht sich der Körper um seine Symmetrieachse oder die Gewichtskraft bewirkt ein Drehmoment dann dreht sich der Körper um den Berührungspunkt mit der Schnur des Jojos. In den folgen beiden Skizzen ist der Drehpunkt für beide Varianten jeweils blau eingezeichnet: center tikzpicturelatex node at Variante :; filldrawcolorblack fillblack!!white circle cm; drawthick colorblack snakecoilsegment aspect segment amplitude.pt segment lengthpt- ---- nodeabove FZ; drawthick- red --- nodebelow FG; filldrawcolorblue fillblue circle .cm; pgftransformxshiftcm node at Variante :; filldrawcolorblack fillblack!!white circle cm; drawthick colorblack snakecoilsegment aspect segment amplitude.pt segment lengthpt- ---- nodeabove FZ; drawthick- red --- nodebelow FG; filldrawcolorblue fillblue - circle .cm; tikzpicture center itemize item bf Variante : Die Zugkraft FZ bewirkt ein Drehmoment Drehpunkt Symmetrieachse daher Trägheitsmoment Jfrac mr^: M r FZ Jalpha r FZ frac mr^ fracar r FZ FZ frac ma Setzt man diese Beziehung oben bei Newton's Gesetz ein so erhält man: ma FG- FZ mg - frac ma a frac g Mit dieser Beschleunigung rollt sich demnach ein Jojo unabhängig von seinem Radius ab. item bf Variante : Die Gewichtskraft FG bewirkt ein Drehmoment; dann ist das Trägheitsmoment des Zylinders bezüglich einer Drehachse im Berührungspunkt mit der Schnur gemäss Satz von Steiner Jfrac mr^+mr^: M r FG Jalpha r FG frac mr^ fracar r mg a frac g itemize abc Nach a ist die Zugkraft in der Schnur nun schnell gefunden: FZ frac ma fracmg abcliste