Exercise:
Sei X ein metrischer Raum. Dann sind folge acht Eigenschaften äquivalent. Wenn diese erfüllt sind so nennt man X einen kompakten metrischen Raum. abcliste abc Jede unliche Teilmenge von X besitzt einen Häufungspunkt. abc X ist folgenkompakt d.h. jede Folge in X hat eine in X konvergente Teilfolge. abc Jede stetige komplexwertige Funktion auf X ist beschränkt. abc Jede stetige reellwertige Funktion auf X nimmt ein Maximum und ein Minimum an. abc Jede offene Überdeckung von X besitzt eine LebesguZahl und X ist total beschränkt. abc X ist überdeckungskompakt. abc X erfüllt das Schachtelungsprinzip. abc X ist total beschränkt und vollständig. abcliste

Solution:
Beweis von a-d Man beweist a Longrightarrow b Longrightarrow c Longrightarrow d Longrightarrow a. Für die Implikation a Longrightarrow b betrachtet man eine Folge x_n_n in X und die Bildmenge D x_n | n in mathbbN. Falls D lich ist so hat x_n_n eine konstante und insbesondere konvergente Teilfolge. Man nimmt nun also an dass D unlich ist womit D nach a einen Häufungspunkt x_ in X besitzt. Nach Proposition . reicht es zu zeigen dass für epsilon und N in mathbbN ein n geq N mit x_n in B_epsilonx_ existiert. Sei epsilon' so gewählt dass B_epsilon'x_backslash x_ subseteq B_epsilonx_backslash x_...x_N. Da x_ ein Häufungspunkt ist gibt es ein n in mathbbN mit x_n in B_epsilon'x_backslash x_ subseteq B_epsilonx_ womit insbesondere n N sein muss. Für die Implikation b Longrightarrow c sei f:X rightarrow mathbbC eine stetige Funktion. Angenommen f sei nicht beschränkt. Dann gibt es zu jedem n in mathbbN ein x_n in X mit |fx_n| n. Dies definiert eine Folge x_n_n in X welche nach b eine konvergente Teilfolge x_n_l_l mit Grenzwert x in X besitzt. Da f stetig ist folgt nun lim limits_l rightarrow infty fx_n_l fx. Also ist komplexe Folge fx_n_l_l einerseits konvergent und andererseits unbeschränkt. Dieser Widerspruch beweist dass f doch beschränkt sein muss. Der Beweis der Implikation c Longrightarrow c ist analog zum Beweis von Korollar . Maximum und Minimum auf kompaktem Intervall. Sei f:X rightarrow mathbbR stetig. Man setzt M textsupfX und nehme per Widerspruch an dass f sein Maximum nicht annimmt. Damit ist die Funktion g:X rightarrow mathbbR x mapsto fracM-fx wohldefiniert und stetig. Nach Annahme in c gibt es nun ein S mit gx leq S oder äquivalenterweise fx leq M-fracS für alle x in X. Dies widerspricht aber der Definition von M als Supremum. Man zeigt nun d Longrightarrow a. Sei D subseteq X eine Teilmenge. Man nimmt an dass D keine Häufungspunkte besitzt und möchte nachweisen dass D lich ist. Dazu möchte man zuerst zeigen dass es einen Radius r gibt s.d. für x in D der Ball B_rx keinen weiteren Punkt von D enthält. Hierfür betrachtet man die Funktion eta : X rightarrow mathbbR_geq gegeben durch eta x textsupdelta in | B_deltax cap D| leq für x in X. Da D keine Häufungspunkte besitzt kann man jedes x in X ein delta finden mit | B_deltax cap D| leq . Somit ist etax für alle x in X. Man bemerkt noch dass daher delta in | |B_deltax cap D| leq etax für alle x in X gilt. Man behauptet nun dass eta:X rightarrow mathbbR_ L-stetig mit L-Konstante und insbesondere stetig ist. Daraus folgt gemeinsam mit der Annahme in d dass r textminetaX grösser Null ist und die oben gewünschte Eigenschaft erfüllt. Seien x_ x_ in X. Falls epsilon eta x_-textdx_x_ ist gilt B_epsilonx_ subseteq B_etax_x_ auf Grund der Dreiecksungleichung womit etax_ geq epsilon etax_-textdx_x_. Falls hingegen epsilon etax_-textdx_x_ leq ist gilt dies ebenfalls. Es gilt also in jedem Fall etax_-etax_ leq textdx_x_. Auf Grund der Symmetrie zwischen x_ und x_ schliesst man also auf |etax_-etax_| leq textdx_x_ wie behauptet. Man nimmt nun zusätzlich an dass D unlich ist und leitet einen Widerspruch ab. Sei also x_n_n eine Folge in D mit x_n neq x_m für alle n neq m. Zu n in mathbbN und x in X setzt man cases nfracr-textdxx_Nquad textfalls x in B_fracrx_n für ein nin mathbbN und quad textsonstcases Nach Wahl von r gibt es für ein gegebenes x in X höchstens ein n in mathbbN mit x_n in B_fracrx womit insbesondere die Funktion f:X rightarrow mathbbR_geq wohldefiniert ist. Des Weiteren ist f stetig für ale y in B_fracrx und falls es doch ein eindeutig bestimmtes n in mathbbN mit x_n in B_fracrx gibt so ist fytextmaxnfracr-textdyx_n für alle y in B_fracrx und damit ebenso bei x stetig. Es gilt aber fx_n fracnr für alle n in mathbbN womit f unbeschränkt ist was e widerspricht. Dieser Widerspruch zeigt dass eine unliche Teilmenge einen Häufungspunkt besitzen muss. Beweis von e-h Man beweist nun dLongrightarrowe. Nach obiger Proposition hat jede offene Überdeckung eine LebesguZahl. Es bleibt noch zu zeigen dass X total beschränkt ist. Dazu darf man auf Grund der Äquivalenz von d und b verwen dass X folgenkompakt ist. Sei epsilon und angenommen X lässt sich nicht durch lich viele Bälle vom Radius epsilon überdecken. Sei x_in X beliebig. Man wählt rekursiv x_nin Xbackslash B_epsilonx_cup ...cup B_epsilonx_n- für alle ngeq was nach der indirekten Annahme jeweils möglich ist. Somit erhält man eine Folge x_n_n mit dx_mx_ngeq epsilon für alle mnin msthbbN mit mneq n. Sei x_n_k_k eine konvergente Teilfolge von x_n_n. Da aber jede konvergente Folge auch eine Cauchy-Folge ist erhält man mit dx_n_kx_n_lgeq epsilon für kneq l einen Widerspruch. Also lässt sich X doch durch lich viele Bälle vom Radius epsilon überdecken. Da epsilon beliebig war ist X total beschränkt. Für die Implikation eLongrightarrowf sei mathcalO eine beliebige offene Überdeckung von X und r eine LebesguZahl für mathcalO nach e. Des Weiteren existieren nach totaler Beschränktheit x_...x_nin X mit Xbigcup_k^n B_rx_k. Für jeden solchen Ball B_rx_k existiert nach Definition der LebesguZahl ein O_kin mathcalO mit B_rx_ksubseteq O_k. Damit gilt also Xbigcup_k^n O_k womit O_...O_n eine liche Teilüberdeckung von mathcalO darstellt. Man zeigt nun fLongrightarrow g. Sei also mathcalA eine Kollektion abgeschlossener Teilmengen mit bigcap_Ain mathcalAAvarnothing. Man will zeigen dass lich viele A_...A_Nin mathcalA existieren mit bigcap_n^N A_nvarnothing. Nach Definition von mathcalA ist mathcalOXbackslash A|Ain mathcalA eine offene Überdeckung von X womit nach g O_Xbackslash A_...O_NXbackslash A_N in mathcalO existieren mit Xbigcup_n^N O_n. In anderen Worten ist bigcap_n^N A_nvarnothing wie gewünscht. Für die Implikationen gLongrightarrow h beweist man zuerst dass X total beschränkt ist. Sei epsilon beliebig und mathcalAXbackslash B_epsilonx|xin X. Dann ist bigcap_Ain mathcalAAvarnothing womit nach dem Schachtelungsprinzip x_...x_nin X mit bigcap_k^nXbackslash B_epsilonx_kvarnothing oder in anderen Worten mit bigcup_k^n B_epsilonx_kX existieren müssen. Um die Vollständigkeit zu verifizieren betrachtet man eine Cauchy-Folge x_n_n und nimmt an dass x_n_n nicht konvergiert. Da eine Cauchy-Folge genau dann konvergiert wenn sie eine konvergente Teilfolge besitzt ist für jedes nin mathbbN die Teilmenge D_nx_k|kgeq n abgeschlossen. Weiter gilt für alle nin mathbbN bigcap_k^n D_kD_nneq varnothing womit nach dem Schachtelungsprinzip bigcap_kin mathbbND_kneq varnothing was einen Widerspruch darstellt. Für die verbleibe Implikation hLongrightarrow a sei Dsubseteq X eine unliche Teilmenge. Man möchte eine Cauchy-Folge x_n_n in D mit paarweise verschiedenenFolgenglieder konstruieren welche dann nach ? konvergieren muss. Der Grenzwert von x_n_n ist ein Häufungspunkt von D. Da X total beschränkt ist gibt es eine liche Teilmenge F_subseteq X mit Xbigcup_yin F_B_y. Sei y_in X mit |B_y_cap D|infty und sei D_B_y_cap D. Im nächsten Schritt schreibt man Xbigcup_yin F_B_fracy für eine liche Teilmenge F_subseteq X wählt ein y_in F_ mit |B_fracy_cap D_|infty und setzt D_B_fracy_cap D_. Fährt man so fort erhält man eine absteige Folge D_supseteq D_supseteq D_ supseteq... von Teilmengen von D mit |D_k|infty sowie D_ksubseteq B_fracky_k für alle kin mathbbN. Für jedes nin mathbbN sei nun x_nin D_n ein beliebiger Punkt. Die resultiere Folge x_n_n ist eine Cauchy-Folge da für ngeq m gilt x_nx_min B_fracny_n womit dx_nx_m fracn.