Komplexe Zahlen
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
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Exercise:
enumerate itema Gegeben seien die Zahlen z_-mathrmi z_sqrt+sqrtmathrmi und displaystyle z_ e^-fracpi mathrmi. Berechne die vier Aufgaben ohne Taschenrechner d.h. mit Lösungsweg exakt. Gib die Resultate entweder sauber in Polarkoordinaten oder in kartesischen Koordinaten an: multicols enumerate itemi z_z_ itemii z_+z_^ itemiii overlinez_+z_+z_ itemiv displaystyle z_/overlinez_ enumerate multicols itemb enumerate itemi Bestimme reelle Koeffizienten a dots c so dass die Gleichung x^+ax^+bx+c unter anderem die Lösungen x_- und x_+mathrmi hat. itemii Wie viele Lösungen für die Koeffizienten a dots c gibt es für diese Aufgabe? Begründe! enumerate enumerate
Solution:
enumerate item z_ e^fracpii z_ sqrt-i enumerate item z_z_ item z_+z_^ item overlinez_+z_+z_leftsqrt+righti+sqrt+ item displaystyle z_/overlinez_frac-i+i frac-i-i-frac+i enumerate item enumerate item Reelle Koeffizienten Rightarrow x_overlinex_-i. Dann folgt mit x^+ax^+bx+cx-x_x-x_x-x_x^-x^+x+ item Die Koeffizienten sind reell der Grad ist ungerade es gibt also mindestens eine reelle Lösung nämlich x_. Diese könnte man abspalten: x^+ax^+bx+cx-tilde ax^+tilde bx+tilde c wobei tilde ax^+tilde bx+tilde c eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten tilde a dots tilde c ist mit den konjugiert komplexen Lösungen x_+i gegeben und x_ overlinex_-i. Es gibt also genau eine Lösung. enumerate enumerate
enumerate itema Gegeben seien die Zahlen z_-mathrmi z_sqrt+sqrtmathrmi und displaystyle z_ e^-fracpi mathrmi. Berechne die vier Aufgaben ohne Taschenrechner d.h. mit Lösungsweg exakt. Gib die Resultate entweder sauber in Polarkoordinaten oder in kartesischen Koordinaten an: multicols enumerate itemi z_z_ itemii z_+z_^ itemiii overlinez_+z_+z_ itemiv displaystyle z_/overlinez_ enumerate multicols itemb enumerate itemi Bestimme reelle Koeffizienten a dots c so dass die Gleichung x^+ax^+bx+c unter anderem die Lösungen x_- und x_+mathrmi hat. itemii Wie viele Lösungen für die Koeffizienten a dots c gibt es für diese Aufgabe? Begründe! enumerate enumerate
Solution:
enumerate item z_ e^fracpii z_ sqrt-i enumerate item z_z_ item z_+z_^ item overlinez_+z_+z_leftsqrt+righti+sqrt+ item displaystyle z_/overlinez_frac-i+i frac-i-i-frac+i enumerate item enumerate item Reelle Koeffizienten Rightarrow x_overlinex_-i. Dann folgt mit x^+ax^+bx+cx-x_x-x_x-x_x^-x^+x+ item Die Koeffizienten sind reell der Grad ist ungerade es gibt also mindestens eine reelle Lösung nämlich x_. Diese könnte man abspalten: x^+ax^+bx+cx-tilde ax^+tilde bx+tilde c wobei tilde ax^+tilde bx+tilde c eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten tilde a dots tilde c ist mit den konjugiert komplexen Lösungen x_+i gegeben und x_ overlinex_-i. Es gibt also genau eine Lösung. enumerate enumerate
Meta Information
Exercise:
enumerate itema Gegeben seien die Zahlen z_-mathrmi z_sqrt+sqrtmathrmi und displaystyle z_ e^-fracpi mathrmi. Berechne die vier Aufgaben ohne Taschenrechner d.h. mit Lösungsweg exakt. Gib die Resultate entweder sauber in Polarkoordinaten oder in kartesischen Koordinaten an: multicols enumerate itemi z_z_ itemii z_+z_^ itemiii overlinez_+z_+z_ itemiv displaystyle z_/overlinez_ enumerate multicols itemb enumerate itemi Bestimme reelle Koeffizienten a dots c so dass die Gleichung x^+ax^+bx+c unter anderem die Lösungen x_- und x_+mathrmi hat. itemii Wie viele Lösungen für die Koeffizienten a dots c gibt es für diese Aufgabe? Begründe! enumerate enumerate
Solution:
enumerate item z_ e^fracpii z_ sqrt-i enumerate item z_z_ item z_+z_^ item overlinez_+z_+z_leftsqrt+righti+sqrt+ item displaystyle z_/overlinez_frac-i+i frac-i-i-frac+i enumerate item enumerate item Reelle Koeffizienten Rightarrow x_overlinex_-i. Dann folgt mit x^+ax^+bx+cx-x_x-x_x-x_x^-x^+x+ item Die Koeffizienten sind reell der Grad ist ungerade es gibt also mindestens eine reelle Lösung nämlich x_. Diese könnte man abspalten: x^+ax^+bx+cx-tilde ax^+tilde bx+tilde c wobei tilde ax^+tilde bx+tilde c eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten tilde a dots tilde c ist mit den konjugiert komplexen Lösungen x_+i gegeben und x_ overlinex_-i. Es gibt also genau eine Lösung. enumerate enumerate
enumerate itema Gegeben seien die Zahlen z_-mathrmi z_sqrt+sqrtmathrmi und displaystyle z_ e^-fracpi mathrmi. Berechne die vier Aufgaben ohne Taschenrechner d.h. mit Lösungsweg exakt. Gib die Resultate entweder sauber in Polarkoordinaten oder in kartesischen Koordinaten an: multicols enumerate itemi z_z_ itemii z_+z_^ itemiii overlinez_+z_+z_ itemiv displaystyle z_/overlinez_ enumerate multicols itemb enumerate itemi Bestimme reelle Koeffizienten a dots c so dass die Gleichung x^+ax^+bx+c unter anderem die Lösungen x_- und x_+mathrmi hat. itemii Wie viele Lösungen für die Koeffizienten a dots c gibt es für diese Aufgabe? Begründe! enumerate enumerate
Solution:
enumerate item z_ e^fracpii z_ sqrt-i enumerate item z_z_ item z_+z_^ item overlinez_+z_+z_leftsqrt+righti+sqrt+ item displaystyle z_/overlinez_frac-i+i frac-i-i-frac+i enumerate item enumerate item Reelle Koeffizienten Rightarrow x_overlinex_-i. Dann folgt mit x^+ax^+bx+cx-x_x-x_x-x_x^-x^+x+ item Die Koeffizienten sind reell der Grad ist ungerade es gibt also mindestens eine reelle Lösung nämlich x_. Diese könnte man abspalten: x^+ax^+bx+cx-tilde ax^+tilde bx+tilde c wobei tilde ax^+tilde bx+tilde c eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten tilde a dots tilde c ist mit den konjugiert komplexen Lösungen x_+i gegeben und x_ overlinex_-i. Es gibt also genau eine Lösung. enumerate enumerate
Contained in these collections:
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