Exercise:
Ein Körper soll von der Erde aus auf den Mond geschossen werden. Dabei nehmen wir an dass die beiden Himmelskörper in Ruhe sind und blen auch alle anderen Himmelskörper aus unserer Betrachtung aus. abcliste abc Welche Mindestgeschwindigkeit muss der Körper beim Abschuss haben damit er den Mond erreicht? abc Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Körper auf dem Mond auf? abcliste

Solution:
center tikzpicturelatex scope filldrawcolorblue fillblue!!white circle .; draw|- colorgreen!!black --; drawcolorgreen!!black dotted .--. nodeabove R; drawcolorgreen!!black dotted --. nodeabove tilde R; drawcolorgreen!!black dotted .--. nodeabove tilde R - R'; drawcolorred dotted --. nodeabove Er GMmleftfracR-fracrright; nodecolorgreen!!black at infty; nodecolorred at . Einfty fracGMmR; scope scopeyshift-cm filldrawcolorred!!yellow fillyellow!!white circle .; draw|- colorgreen!!black ---; drawcolorgreen!!black dotted .--.- nodebelow R'; scope tikzpicture center abcliste abc Das Gravitationspotential Energie bei -infty auf Null gesetzt des ErdMond-Systems ist die ungestörte Überlagerung des Potentials der Erde und des Potentials des Mondes. Achtung: Das sind zwei Potentiale mit anderen Skalen für den Ort einmal im Erdmittelpunkt einmal im Mondmittelpunkt. Daher muss man etwas aufpassen beim Einsetzen der glqq Ortesgrqq. E_textrmpot^textrmgravr underbracfracGMEarth mr_textrmErde underbracfracGMMoon mrEarthMoon-r_textrmMond -GmleftfracMEarthr+fracMMoonrEarthMoon-rright Die Energie des Anfangszustandes A auf der Erdoberfläche beträgt: E_A Ekin^A +Epot^A fracmv^_A+left-mGleftfracMEarthrEarth+fracMMoonrEarthMoon-rEarthrightright Im Endzustand -- d.h. am neutralen Punkt NP bei rd wo die Gravitationskräfte der Erde und des Mondes sich gegenseitig aufheben -- gilt: E_NP Ekin^NP+Epot^NP + left-mGleftfracMEarthd+fracMMoonrEarthMoon-drightright . labelE_NP Der neutrale Punkt kann mittels Kräftegleichgewicht gefunden werden es gilt: F_textrmErded F_textrmMondrEarthMoon-d fracGMEarth md^ fracGMMoon mrEarthMoon-d^ sqrtfracMEarthMMoon fracdrEarthMoon-d sqrtfracMEarthMMoonrEarthMoon left+sqrtfracMEarthMMoonrightd d &approx fracrEarthMoon .em Damit kann nach der Anfangsgeschwindigkeit v_A aufgelöst werden v_A .kilometerpersecond. abc Nun fällt das Objekt vom neutralen Punkt auf den Mond. Im Anfangszustand bei NP gilt wieder Gleichung refE_NP. Im Endzustand M auf der Mondoberfläche gilt: E_M Ekin^M + Epot^M fracmv_E^+ left-mGleftfracMEarthrEarthMoon-rMoon+fracMMoonrMoonright right Energieerhaltung E_NPE_M und auflösen liefert v_E.kilometerpersecond. abcliste