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https://texercises.com/exercise/kriterium-fur-diffeomorphie/
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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und sei f:Urightarrow mathbbR^n eine d-mal stetig differenzierbare injektive Funktion mit dgeq . Angenommen jeder Punkt xin U hat die Eigenschaft dass textD_xf invertierbar ist oder in anderen Worten: jeder Punkt in U ist regulär. Dann ist VfUsubseteq mathbbR^n offen und f:Urightarrow V ist ein C^d-Diffeomorphismus mit textD_yf^-textD_xf^- für alle xin U und yfxin V.

Solution:
Beweis. Man zeigt zuerst dass VfU offen ist. Sei also y_fx_ für ein x_in U. Da textD_x_f invertierbar ist kann man den Satz der inversen Abbildung Satz . anwen und erhält offene Umgebungen U_ von x_ und V_ von y_ so dass f|_U_:U_rightarrow V_ ein Diffeomorhpismus ist. Insbesondere ist V_fU_subseteq fUV womit V offen ist da y_in V beliebig war eine beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen. Des Weiteren stimmt f|_U_^-:V_rightarrow U_ mit f^-|_V_:V_rightarrow U_ überein wobei f^-:Vrightarrow U auf Grund der vorausgesetzten Injektivität existiert. Man erhält dass f^- auf V_ also d-mal stetig differenzierbar ist. Da y_in V allerdings beliebig war und da stetige Differenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft ist zeigt dies dass f^- d-mal stetig differenzierbar ist. Somit ist f:Urightarrow V ein C^d-Diffeomorphismus.
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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und sei f:Urightarrow mathbbR^n eine d-mal stetig differenzierbare injektive Funktion mit dgeq . Angenommen jeder Punkt xin U hat die Eigenschaft dass textD_xf invertierbar ist oder in anderen Worten: jeder Punkt in U ist regulär. Dann ist VfUsubseteq mathbbR^n offen und f:Urightarrow V ist ein C^d-Diffeomorphismus mit textD_yf^-textD_xf^- für alle xin U und yfxin V.

Solution:
Beweis. Man zeigt zuerst dass VfU offen ist. Sei also y_fx_ für ein x_in U. Da textD_x_f invertierbar ist kann man den Satz der inversen Abbildung Satz . anwen und erhält offene Umgebungen U_ von x_ und V_ von y_ so dass f|_U_:U_rightarrow V_ ein Diffeomorhpismus ist. Insbesondere ist V_fU_subseteq fUV womit V offen ist da y_in V beliebig war eine beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen. Des Weiteren stimmt f|_U_^-:V_rightarrow U_ mit f^-|_V_:V_rightarrow U_ überein wobei f^-:Vrightarrow U auf Grund der vorausgesetzten Injektivität existiert. Man erhält dass f^- auf V_ also d-mal stetig differenzierbar ist. Da y_in V allerdings beliebig war und da stetige Differenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft ist zeigt dies dass f^- d-mal stetig differenzierbar ist. Somit ist f:Urightarrow V ein C^d-Diffeomorphismus.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis ii, beweis, diffeomorphie, eth, fs23, proof
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Difficulty
(1, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator rk
Decoration
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