Kriterium für Diffeomorphie
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und sei f:Urightarrow mathbbR^n eine d-mal stetig differenzierbare injektive Funktion mit dgeq . Angenommen jeder Punkt xin U hat die Eigenschaft dass textD_xf invertierbar ist oder in anderen Worten: jeder Punkt in U ist regulär. Dann ist VfUsubseteq mathbbR^n offen und f:Urightarrow V ist ein C^d-Diffeomorphismus mit textD_yf^-textD_xf^- für alle xin U und yfxin V.
Solution:
Beweis. Man zeigt zuerst dass VfU offen ist. Sei also y_fx_ für ein x_in U. Da textD_x_f invertierbar ist kann man den Satz der inversen Abbildung Satz . anwen und erhält offene Umgebungen U_ von x_ und V_ von y_ so dass f|_U_:U_rightarrow V_ ein Diffeomorhpismus ist. Insbesondere ist V_fU_subseteq fUV womit V offen ist da y_in V beliebig war eine beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen. Des Weiteren stimmt f|_U_^-:V_rightarrow U_ mit f^-|_V_:V_rightarrow U_ überein wobei f^-:Vrightarrow U auf Grund der vorausgesetzten Injektivität existiert. Man erhält dass f^- auf V_ also d-mal stetig differenzierbar ist. Da y_in V allerdings beliebig war und da stetige Differenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft ist zeigt dies dass f^- d-mal stetig differenzierbar ist. Somit ist f:Urightarrow V ein C^d-Diffeomorphismus.
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und sei f:Urightarrow mathbbR^n eine d-mal stetig differenzierbare injektive Funktion mit dgeq . Angenommen jeder Punkt xin U hat die Eigenschaft dass textD_xf invertierbar ist oder in anderen Worten: jeder Punkt in U ist regulär. Dann ist VfUsubseteq mathbbR^n offen und f:Urightarrow V ist ein C^d-Diffeomorphismus mit textD_yf^-textD_xf^- für alle xin U und yfxin V.
Solution:
Beweis. Man zeigt zuerst dass VfU offen ist. Sei also y_fx_ für ein x_in U. Da textD_x_f invertierbar ist kann man den Satz der inversen Abbildung Satz . anwen und erhält offene Umgebungen U_ von x_ und V_ von y_ so dass f|_U_:U_rightarrow V_ ein Diffeomorhpismus ist. Insbesondere ist V_fU_subseteq fUV womit V offen ist da y_in V beliebig war eine beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen. Des Weiteren stimmt f|_U_^-:V_rightarrow U_ mit f^-|_V_:V_rightarrow U_ überein wobei f^-:Vrightarrow U auf Grund der vorausgesetzten Injektivität existiert. Man erhält dass f^- auf V_ also d-mal stetig differenzierbar ist. Da y_in V allerdings beliebig war und da stetige Differenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft ist zeigt dies dass f^- d-mal stetig differenzierbar ist. Somit ist f:Urightarrow V ein C^d-Diffeomorphismus.
Meta Information
Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und sei f:Urightarrow mathbbR^n eine d-mal stetig differenzierbare injektive Funktion mit dgeq . Angenommen jeder Punkt xin U hat die Eigenschaft dass textD_xf invertierbar ist oder in anderen Worten: jeder Punkt in U ist regulär. Dann ist VfUsubseteq mathbbR^n offen und f:Urightarrow V ist ein C^d-Diffeomorphismus mit textD_yf^-textD_xf^- für alle xin U und yfxin V.
Solution:
Beweis. Man zeigt zuerst dass VfU offen ist. Sei also y_fx_ für ein x_in U. Da textD_x_f invertierbar ist kann man den Satz der inversen Abbildung Satz . anwen und erhält offene Umgebungen U_ von x_ und V_ von y_ so dass f|_U_:U_rightarrow V_ ein Diffeomorhpismus ist. Insbesondere ist V_fU_subseteq fUV womit V offen ist da y_in V beliebig war eine beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen. Des Weiteren stimmt f|_U_^-:V_rightarrow U_ mit f^-|_V_:V_rightarrow U_ überein wobei f^-:Vrightarrow U auf Grund der vorausgesetzten Injektivität existiert. Man erhält dass f^- auf V_ also d-mal stetig differenzierbar ist. Da y_in V allerdings beliebig war und da stetige Differenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft ist zeigt dies dass f^- d-mal stetig differenzierbar ist. Somit ist f:Urightarrow V ein C^d-Diffeomorphismus.
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und sei f:Urightarrow mathbbR^n eine d-mal stetig differenzierbare injektive Funktion mit dgeq . Angenommen jeder Punkt xin U hat die Eigenschaft dass textD_xf invertierbar ist oder in anderen Worten: jeder Punkt in U ist regulär. Dann ist VfUsubseteq mathbbR^n offen und f:Urightarrow V ist ein C^d-Diffeomorphismus mit textD_yf^-textD_xf^- für alle xin U und yfxin V.
Solution:
Beweis. Man zeigt zuerst dass VfU offen ist. Sei also y_fx_ für ein x_in U. Da textD_x_f invertierbar ist kann man den Satz der inversen Abbildung Satz . anwen und erhält offene Umgebungen U_ von x_ und V_ von y_ so dass f|_U_:U_rightarrow V_ ein Diffeomorhpismus ist. Insbesondere ist V_fU_subseteq fUV womit V offen ist da y_in V beliebig war eine beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen. Des Weiteren stimmt f|_U_^-:V_rightarrow U_ mit f^-|_V_:V_rightarrow U_ überein wobei f^-:Vrightarrow U auf Grund der vorausgesetzten Injektivität existiert. Man erhält dass f^- auf V_ also d-mal stetig differenzierbar ist. Da y_in V allerdings beliebig war und da stetige Differenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft ist zeigt dies dass f^- d-mal stetig differenzierbar ist. Somit ist f:Urightarrow V ein C^d-Diffeomorphismus.
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