Exercise:
Gegeben ist die Funktion textcolorredfxfracx^x^+x Untersuche die Funktion auf: abcliste abc Definitionsmenge Pole/Lücken abc Symmetrie abc Asymptoten abc Nullstellen abc textcolor red!!yellowExtrem- und textcolor red!!blueWepunkte abcliste Skizziere anschliess fx.

Solution:
abcliste abc DmathbbRbackslash - Lücke bei x Pol bei x- abc y-achsensymmetrisch gerade Funktion abc senkrecht: keine waagrecht: y schief: keine abc x doppelte Nullstelle abc bf Erste Ableitung! f'x fracxx^+-x^ xx^+^ fracxx^+^ bf Erste Ableitung Null setzen! dabei ist nur Zähler relevant f'x x stackrel! bf Zweite Ableitung! um zu überprüfen ob es sich dabei tatsächlich um einen Extrempunkt handelt f''x fracxx^+-x x^+ xx^+^ frac-x^+x^+^ f'' textcolorred!!yellowbf T/ abc bf Zweite Ableitung Null setzen! dabei ist nur Zähler relevant f''x frac-x^+x^+^ stackrel! x_ pm sqrt frac bf Dritte Ableitung! um zu überprüfen ob es sich dabei tatsächlich um einen Wepunkt handelt f'''x frac-x^+^--x^+ x x^+^x^+^ frac-^-x+x^-xx^+^ frac-x^-xx^+^ f'''left pm sqrt fracright &neq textcolorred!!blueW_ leftsqrt frac / fracright textcolorred!!blueW_ left-sqrt frac / fracright abcliste center tikzpicture axis axis lines left xlabel x ylabel fx colorgreen!!black xmin- xmax ymin-. ymax. xtick ytick ymajorgridstrue grid styledashed %Below the red parabola is defined addplot domain-: samples colorred *x^/x^+; addlegentryfracx^x^+ addplot domain-: colorblue dashed ; nodecolorred!!bluecirclefillinner sep.pt at axis cs:.. ; nodecolorred!!bluecirclefillinner sep.pt at axis cs:-.. ; nodecolorred!!yellowcirclefillinner sep.pt at axis cs: ; axis tikzpicture center