Exercise:
Sei f eine beschränkte reellwertige Funktion auf einem abgeschlossenen Quader Q. Die Funktion f ist genau dann R-bar wenn die Menge N xin Q mid ftext ist unstetig in x eine Nullmenge in mathbbR^n ist. Die zweite Bedingung wird auch kurs als textquotef ist überall stetig bezeichnet. Allgemeiner sagt man dass eine Aussage Ax über Elemente xin mathbbR^n oder x in einer Teilmenge von mathbbR^n fast überall gilt falls N xmid Ax textgilt nicht eine Nullmenge ist.

Solution:
Beweis. Man nimmt zuerst an dass die beschränkte reellwertige Funktion f auf Q R-bar ist. Seien eta und epsilon beliebig. Dann existiert nach Proposition . eine Zerlegung zeta von Q so dass Ofzeta-Ufzeta epsilon eta oder äquivalenterweise _Q_alphasqsubset zetatextsup fQ_alpha-textinf fQ_alphatextvolQ_alpha epsilon eta Man definiert weiter textBadeta alphamid textsup fQ_alpha - textinf fQ_alpha geq eta und erhält eta _alphain textBadetatextvolQ_alpha &leq _alphain textBadeta textsup fQ_alpha - textinf fQ_alphatextvolQ_alpha & epsilon eta und nach Division mit eta damit _alphain textBadetatextvolQ_alpha & epsilon Nun betrachtet man die Menge N_eta xin Qmid omegafxgeq eta aus Lemma .. Für xin Q_alpha mit alpha notin textBadeta gibt es ein delta mit B_delta^inftyxsubseteq Q_alpha da der Teilquader Q_alpha nach Definition offen ist womit omegafx leq omegafxdeltaleq textsupfQ_alpha-textinffQ_alpha eta folgt. Damit gilt also für jedes xin N_eta dass entweder x ein Element eines Randes eines der Teilquader ist oder dass xin Q_alpha für ein alpha in textBadeta in Symbolen N_eta subseteq bigcup_Q_alphasqsubset zetapartial Q_alpha cup &bigcup_alphain textBadetaQ_alpha &_alphain textBadetatextvolQ_alpha epsilon. Da aber partial Q_alpha durch lich viele offene Quader mit beliebig kleinem Gesamtvolumen überdeckt werden kann kann man auch eine liche Überdeckung von N_eta durch offene Quader finden so dass das Gesamtvolumen kleiner als epsilon ist. Dies zeigt dass N_eta eine Nullmenge ist da epsilon bliebig war. Man wet nun Obiges für eta frack zu kin mathbbN an und erhält aus Lemma . dass N xin Q mid ftext ist unstetig in x xin Q mid omegafx bigcup_k^inftyN_frack eine Nullmenge ist. Man nimmt nun an dass f:Qrightarrow mathbbR beschränkt ist und Nxin Q mid ftext ist unstetig in x eine Nullmenge ist. Des Weiteren definiert man die obere Schranke Mtextsup|fQ|. Sei epsilon . Dann ist N_epsilonxin Qmid xfxgeq epsilonsubseteqn N nach Lemma . eine Nullmenge nach Lemma . abgeschlossen und nach dem Satz von HeinBorel Satz . kompakt. Per Definition von Nullmengen und abzählbarer Überdeckungskompaktheit in Satz . folgt daher dass es eine liche Überdeckung N_epsilon subseteq bigcup_l^m O_l mit offenen Quadern O_...O_m gibt so dass _l^m textvolO_l epsilon gilt. Man betrachtet nun die Teilmenge KQbackslash bigcup_l^m O_l. Wiederum nach HeinBorel ist K kompakt. Nach Konstruktion gilt Ksubseteq Qbackslash N_epsilon und damit omegafx epsilon für alle xin K. Nach Proposition . angewet auf eta epsilon und epsilon gibt es also ein delta so dass für alle xin K die Abschätzung omegaf|_K x delta epsilon gilt. Man wählt nun eine Zerlegung zeta s.d. die Maschenweite kleiner als delta ist und jeder der Quader overlineO_cap Q...overlineO_mcap Q eine Vereinigung von der Zerlegung zeta entsprechen abgeschlossenen Quadern ist. Man betrachtet schlusslich die Differenz Ofzeta-Ufzeta_Q_alphasqsubset zetatextsupfQ_alpha-textinffQ_alphatextvolQ_alpha und möchte zeigen dass diese klein ist. Dazu trennt man die Summe in zwei Teile auf. Im ersten miert man gerade über jene Teilquader von zeta die Teil eines Quader overlineO_l sind und im zweiten Teil miert man über die restlichen Quader. Auf die erste Summe wet man nun Obiges an. Dies ergibt Ofzeta-Ufzeta&leq _l^m _Q_alphasqsubset zeta Q_alphasubseteq O_l MtextvolQ_alpha + _Q_alphasqsubset zeta Q_alphasubseteq K epsilontextvolQ_alpha &leq Mepsilon + epsilon textvolQ M+textvolQepsilon. Da epsilon beliebig war folgt nun die Riemann-Integrierbarkeit von f.