Lebesgue-Zahl
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
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Exercise:
Sei X ein folgenkompakter metrischer Raum. Dann hat jede offene Überdeckung eine LebesguZahl.
Solution:
Beweis. Sei mathcalO eine offene Überdeckung von X für welche man eine LebesguZahl finden will. Dazu betrachtet man die Hilfsfunktion eta:Xrightarrow mathbbR_ gegeben durch etaxtextsupdelta in |exists OinmathcalO: B_deltaxsubseteq O Man behauptet dass diese L-stetig ist mit L-Konstante . Seien also x_x_in X und sei delta etax_. Falls epsilon delta -textdx_x_ was auch für epsilon leq erfüllt ist. Nach Übergang zum Supremum ist etax_geq etax_-textdx_x_ was auch für epsilon leq erfüllt ist. Nach Übergang zum Supremum ist etax_geq etax_-textdx_x_ oder in anderen Worten textdx_x_geq etax_-etax_. Aus Symmetriegründen folgt daraus textdx_x_geq |etax_-etax_| wie gewünscht. Nach Annahme an X und a-e in Satz . existiert somit ein x_in X mit etax_textminetaX. Man zeigt nun dass r_textLebfracetax_ eine LebesguZahl für mathcalO darstellt. In der Tat gilt für jedes xin X die Ungleichung r_textLeb etax_leq etax womit Oin mathcalO mit B_r_textLebsubseteq O existiert.
Sei X ein folgenkompakter metrischer Raum. Dann hat jede offene Überdeckung eine LebesguZahl.
Solution:
Beweis. Sei mathcalO eine offene Überdeckung von X für welche man eine LebesguZahl finden will. Dazu betrachtet man die Hilfsfunktion eta:Xrightarrow mathbbR_ gegeben durch etaxtextsupdelta in |exists OinmathcalO: B_deltaxsubseteq O Man behauptet dass diese L-stetig ist mit L-Konstante . Seien also x_x_in X und sei delta etax_. Falls epsilon delta -textdx_x_ was auch für epsilon leq erfüllt ist. Nach Übergang zum Supremum ist etax_geq etax_-textdx_x_ was auch für epsilon leq erfüllt ist. Nach Übergang zum Supremum ist etax_geq etax_-textdx_x_ oder in anderen Worten textdx_x_geq etax_-etax_. Aus Symmetriegründen folgt daraus textdx_x_geq |etax_-etax_| wie gewünscht. Nach Annahme an X und a-e in Satz . existiert somit ein x_in X mit etax_textminetaX. Man zeigt nun dass r_textLebfracetax_ eine LebesguZahl für mathcalO darstellt. In der Tat gilt für jedes xin X die Ungleichung r_textLeb etax_leq etax womit Oin mathcalO mit B_r_textLebsubseteq O existiert.
Meta Information
Exercise:
Sei X ein folgenkompakter metrischer Raum. Dann hat jede offene Überdeckung eine LebesguZahl.
Solution:
Beweis. Sei mathcalO eine offene Überdeckung von X für welche man eine LebesguZahl finden will. Dazu betrachtet man die Hilfsfunktion eta:Xrightarrow mathbbR_ gegeben durch etaxtextsupdelta in |exists OinmathcalO: B_deltaxsubseteq O Man behauptet dass diese L-stetig ist mit L-Konstante . Seien also x_x_in X und sei delta etax_. Falls epsilon delta -textdx_x_ was auch für epsilon leq erfüllt ist. Nach Übergang zum Supremum ist etax_geq etax_-textdx_x_ was auch für epsilon leq erfüllt ist. Nach Übergang zum Supremum ist etax_geq etax_-textdx_x_ oder in anderen Worten textdx_x_geq etax_-etax_. Aus Symmetriegründen folgt daraus textdx_x_geq |etax_-etax_| wie gewünscht. Nach Annahme an X und a-e in Satz . existiert somit ein x_in X mit etax_textminetaX. Man zeigt nun dass r_textLebfracetax_ eine LebesguZahl für mathcalO darstellt. In der Tat gilt für jedes xin X die Ungleichung r_textLeb etax_leq etax womit Oin mathcalO mit B_r_textLebsubseteq O existiert.
Sei X ein folgenkompakter metrischer Raum. Dann hat jede offene Überdeckung eine LebesguZahl.
Solution:
Beweis. Sei mathcalO eine offene Überdeckung von X für welche man eine LebesguZahl finden will. Dazu betrachtet man die Hilfsfunktion eta:Xrightarrow mathbbR_ gegeben durch etaxtextsupdelta in |exists OinmathcalO: B_deltaxsubseteq O Man behauptet dass diese L-stetig ist mit L-Konstante . Seien also x_x_in X und sei delta etax_. Falls epsilon delta -textdx_x_ was auch für epsilon leq erfüllt ist. Nach Übergang zum Supremum ist etax_geq etax_-textdx_x_ was auch für epsilon leq erfüllt ist. Nach Übergang zum Supremum ist etax_geq etax_-textdx_x_ oder in anderen Worten textdx_x_geq etax_-etax_. Aus Symmetriegründen folgt daraus textdx_x_geq |etax_-etax_| wie gewünscht. Nach Annahme an X und a-e in Satz . existiert somit ein x_in X mit etax_textminetaX. Man zeigt nun dass r_textLebfracetax_ eine LebesguZahl für mathcalO darstellt. In der Tat gilt für jedes xin X die Ungleichung r_textLeb etax_leq etax womit Oin mathcalO mit B_r_textLebsubseteq O existiert.
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