Exercise
https://texercises.com/exercise/lebesgue-zahl/
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Exercise:
Sei X ein folgenkompakter metrischer Raum. Dann hat jede offene Überdeckung eine LebesguZahl.

Solution:
Beweis. Sei mathcalO eine offene Überdeckung von X für welche man eine LebesguZahl finden will. Dazu betrachtet man die Hilfsfunktion eta:Xrightarrow mathbbR_ gegeben durch etaxtextsupdelta in |exists OinmathcalO: B_deltaxsubseteq O Man behauptet dass diese L-stetig ist mit L-Konstante . Seien also x_x_in X und sei delta etax_. Falls epsilon delta -textdx_x_ was auch für epsilon leq erfüllt ist. Nach Übergang zum Supremum ist etax_geq etax_-textdx_x_ was auch für epsilon leq erfüllt ist. Nach Übergang zum Supremum ist etax_geq etax_-textdx_x_ oder in anderen Worten textdx_x_geq etax_-etax_. Aus Symmetriegründen folgt daraus textdx_x_geq |etax_-etax_| wie gewünscht. Nach Annahme an X und a-e in Satz . existiert somit ein x_in X mit etax_textminetaX. Man zeigt nun dass r_textLebfracetax_ eine LebesguZahl für mathcalO darstellt. In der Tat gilt für jedes xin X die Ungleichung r_textLeb etax_leq etax womit Oin mathcalO mit B_r_textLebsubseteq O existiert.
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Sei X ein folgenkompakter metrischer Raum. Dann hat jede offene Überdeckung eine LebesguZahl.

Solution:
Beweis. Sei mathcalO eine offene Überdeckung von X für welche man eine LebesguZahl finden will. Dazu betrachtet man die Hilfsfunktion eta:Xrightarrow mathbbR_ gegeben durch etaxtextsupdelta in |exists OinmathcalO: B_deltaxsubseteq O Man behauptet dass diese L-stetig ist mit L-Konstante . Seien also x_x_in X und sei delta etax_. Falls epsilon delta -textdx_x_ was auch für epsilon leq erfüllt ist. Nach Übergang zum Supremum ist etax_geq etax_-textdx_x_ was auch für epsilon leq erfüllt ist. Nach Übergang zum Supremum ist etax_geq etax_-textdx_x_ oder in anderen Worten textdx_x_geq etax_-etax_. Aus Symmetriegründen folgt daraus textdx_x_geq |etax_-etax_| wie gewünscht. Nach Annahme an X und a-e in Satz . existiert somit ein x_in X mit etax_textminetaX. Man zeigt nun dass r_textLebfracetax_ eine LebesguZahl für mathcalO darstellt. In der Tat gilt für jedes xin X die Ungleichung r_textLeb etax_leq etax womit Oin mathcalO mit B_r_textLebsubseteq O existiert.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, fs23, metrik, proof, topologie
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration