Leibniz-Kriterium
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Exercise:
abcliste abc Was besagt das Kriterium? abc Beweis. abcliste
Solution:
abcliste abc Gegeben sei eine monoton falle Folge a_n_n positiver Zahlen die gegen Null konvergiert. Dann konvergiert die zugehörige alterniere Reihe _k^infty -^k+a_k und es gilt dass left| _k^l -^k+a_k-_k^infty -^k+a_k right| leq a_l+ für alle lin mathbbN. Weiters ist _k^n -^k+a_k leq _k^infty -^k+a_k leq _k^n- -^k+a_k für alle nin mathbbN. abc Für n in mathbbN sei s_n _k^infty -^k+a_k. Es gilt s_n+ s_n--a_n+a_n+ leq s_n- s_n+ s_n-a_n+-a_n+ leq s_n für alle n in mathbbN. Insbesondere ist die Folge s_n-_n monoton fall und die Folge s_n_n ist monoton wachs. Wegen s_n s_n--a_n und der Monotonieeigenschaften gilt s_ leq s_n leq s_n- leq s_ für alle n in mathbbN. Somit ist s_n_n von oben beschränkt und damit konvergent. Analog ist auch s_n-_n von unten beschränkt und konvergent. Da aber a_n_n gegen Null konvergiert haben die Folgen s_n_n und s_n-_n wegen s_n s_n--a_n für alle n in mathbbN den gleichen Grenzwert. Insbesondere konvergiert die Reihe _k^infty -^k+a_k S in mathbbR. Man zeige nun die Fehlerabschätzung und die behauptete Ungleichung. Für n in mathbbN gilt auf Grund der besprochenen Monotonieeigenschaften dass s_n leq textsups_m|min mathbbN S textinfs_m-|min mathbbN leq s_n+ Für l n ist aber s_n+-s_na_l+ und man erhält . Für l n- ungerade gilt ebenso s_n s_n--a_n leq S leq s_n- woraus sich ergibt. Dies beweist die Fehlerabschätzung sowohl für einen geraden als auch für einen ungeraden Index und damit die Proposition. abcliste
abcliste abc Was besagt das Kriterium? abc Beweis. abcliste
Solution:
abcliste abc Gegeben sei eine monoton falle Folge a_n_n positiver Zahlen die gegen Null konvergiert. Dann konvergiert die zugehörige alterniere Reihe _k^infty -^k+a_k und es gilt dass left| _k^l -^k+a_k-_k^infty -^k+a_k right| leq a_l+ für alle lin mathbbN. Weiters ist _k^n -^k+a_k leq _k^infty -^k+a_k leq _k^n- -^k+a_k für alle nin mathbbN. abc Für n in mathbbN sei s_n _k^infty -^k+a_k. Es gilt s_n+ s_n--a_n+a_n+ leq s_n- s_n+ s_n-a_n+-a_n+ leq s_n für alle n in mathbbN. Insbesondere ist die Folge s_n-_n monoton fall und die Folge s_n_n ist monoton wachs. Wegen s_n s_n--a_n und der Monotonieeigenschaften gilt s_ leq s_n leq s_n- leq s_ für alle n in mathbbN. Somit ist s_n_n von oben beschränkt und damit konvergent. Analog ist auch s_n-_n von unten beschränkt und konvergent. Da aber a_n_n gegen Null konvergiert haben die Folgen s_n_n und s_n-_n wegen s_n s_n--a_n für alle n in mathbbN den gleichen Grenzwert. Insbesondere konvergiert die Reihe _k^infty -^k+a_k S in mathbbR. Man zeige nun die Fehlerabschätzung und die behauptete Ungleichung. Für n in mathbbN gilt auf Grund der besprochenen Monotonieeigenschaften dass s_n leq textsups_m|min mathbbN S textinfs_m-|min mathbbN leq s_n+ Für l n ist aber s_n+-s_na_l+ und man erhält . Für l n- ungerade gilt ebenso s_n s_n--a_n leq S leq s_n- woraus sich ergibt. Dies beweist die Fehlerabschätzung sowohl für einen geraden als auch für einen ungeraden Index und damit die Proposition. abcliste