Exercise:
Leuchtstoffröhren sind Niederdruck-Gasentladungslampen häufig mit Quecksilberdampf als Füllgas. Im Betrieb emittieren die Quecksilberatome u. a. Ultraviolettstrahlung. enumeratea item Erklären Sie kurz wie es zur Entstehung dieser Strahlung kommt. In der Beschichtung von Leuchtstoffröhren befinden sich Moleküle die die UV-Strahlung der Quecksilberatome in sichtbares Licht umwandeln. Die Anregungszustände eines solchen Leuchtstoffmoleküls können näherungsweise durch das Modell eines eindimensionalen Potentialtopfs beschrieben werden. item Erläutern Sie die Modellvorstellung eines Elektrons im unlich tiefen eindimensionalen Potentialtopf. Zeigen Sie dass sich in diesem Modell die Energiestufen durch die Beziehung E_n frach^ m_e L^ n^ beschreiben lassen wobei L die Länge des Potentialtopfs ist. Ultraviolettstrahlung mit der Wellenlänge text nm soll das Leuchtstoffmolekül vom Grundzustand in den zweiten angeregten Zustand bringen. item Bestätigen Sie dass der Potentialtopf ^- text m lang sein muss. item Zeigen Sie dass eine Umwandlung in sichtbares Licht möglich ist. enumerate

Solution:
Leuchtstoffröhren sind Niederdruck-Gasentladungslampen häufig mit Quecksilberdampf als Füllgas. Im Betrieb emittieren die Quecksilberatome u. a. Ultraviolettstrahlung. enumeratea item textbfAusführliche Lösung: enumeratea item Die UV-Strahlung entsteht durch elektronische Übergänge in den Quecksilberatomen. Wenn ein Quecksilberatom angeregt wird steigen Elektronen auf höhere Energieniveaus. Beim Zurückfallen in den Grundzustand wird die überschüssige Energie in Form von UV-Strahlung freigesetzt. item Ein Elektron im unlich tiefen Potentialtopf hat diskrete Energiestufen die durch die Schrödingergleichung bestimmt werden. Für einen eindimensionalen Potentialtopf der Länge L sind die Energieniveaus gegeben durch E_n frach^ m_e L^ n^ wobei h das Plancksche Wirkungsquantum m_e die Elektronenmasse L die Länge des Potentialtopfs und n eine ganzzahlige Quantenzahl ist. Diese Formel zeigt dass die Energieniveaus proportional zu n^ und umgekehrt proportional zu L^ sind. item Um die Länge des Potentialtopfs L zu bestimmen verwen wir die gegebene Wellenlänge der UV-Strahlung lambda text nm . Die Energie des Photons ist gegeben durch E frachclambda wobei h das Plancksche Wirkungsquantum und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Setzen wir die Werte ein: E frac ^- text Js ^ text m/s ^- text m approx ^- text J Diese Energie entspricht dem Übergang vom Grundzustand n in den zweiten angeregten Zustand n . Die Energiedifferenz zwischen diesen Zuständen ist: E_ - E_ frach^ m_e L^ ^ - ^ frac h^ m_e L^ Setzen wir E gleich E_ - E_ und lösen nach L auf: L sqrtfrach^m_e E sqrtfrac ^- text Js^ ^- text kg ^- text J approx ^- text m item Das Energieniveauschema für das Leuchtstoffmolekül zeigt die diskreten Energieniveaus. Bei der Anregung durch UV-Strahlung steigt ein Elektron auf ein höheres Energieniveau und fällt dann unter Emission von sichtbarem Licht auf ein niedrigeres Energieniveau zurück. Diese Umwandlung ist möglich weil die Energiedifferenzen der Übergänge im sichtbaren Bereich des elektromagnetischen Spektrums liegen. enumerate enumerate