Exercise:
Ein Lichtstrahl treffe im Abstand r parallel zur Äquatorialebene eines kugelförmigen Wassertropfens Brechungsindex n mit Radius R auf diesen Tropfen. Wie stark wird der Lichtstrahl aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt?

Solution:
enumerate %%% item bf Einfallswinkel Falls der Lichtstrahl im Abstand r zur Äquatorialebene auf den Wassertropfen trifft so beträgt der Einfallswinkel zwischen der Grenzfläche Luft/Wasser grün eingezeichnet alpha_ arcsinfracrR. center tikzpicture scope % Wassertropfen filldrawcolorblue fillblue!!white circle R; % Äquatorialebene drawdotted --- noderight scriptsize Äquatorialebene; % Punkte zeichnen tkzDefPoO tkzDefPo-R*cosasinr/RrA foreach P in OA node at Pcirclefillinner seppt; % optische Achse einfaller Strahl drawdashed O--+-aedX:*R; % Winkel alpha_ filldrawcolorgreen fillgreen!!white O---. arc :-aedX:. -- cycle; filldrawcolorgreen fillgreen!!white A---R*cosasinr/R-.r arc :-aedX:. -- cycle; nodecolorgreen Aw at A+-aedX/:. scriptsize alpha_; % einfaller Lichtstrahl tkzDefPo-rS drawcolorred thick S--A; drawcolorblack -latex -.---.r nodemidway left r; % theoretisch weiterlaufer Strahl drawdashed colorred A--A+; scope tikzpicture center %%% item bf Brechung des einfallen Strahles Aufgrund des Snellius'schen Brechungsgesetzes n sinalpha_ sinalpha_ fracrR wird dieser Strahl um alpha_ arcsinfracrnR gegen die optische Achse gebrochen womit der Strahl aus seiner ursprünglichen Bewegungsrichtung um delta_ alpha_-alpha_ arcsinfracrR - arcsinfracrnR abgelenkt wird. %%%% SKIZZE %%% center tikzpicture scope % Wassertropfen filldrawcolorblue fillblue!!white circle R; % Punkte zeichnen tkzDefPoO tkzDefPo-R*cosasinr/RrA tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXB foreach P in OAB node at Pcirclefillinner seppt; % optische Achse einfaller Strahl drawdashed O--+-aedX:*R; % Winkel alpha_ filldrawcolorgreen fillgreen!!white A---R*cosasinr/R-.r arc :-aedX:. -- cycle; nodecolorgreen Aw at A+-aedX/:. scriptsize alpha_; % Winkel alpha_ filldrawcolorgreen fillgreen!!white A-- A+-aedX:. arc-aedX:-aedX+azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Az at A+-aedX+azdX/:. scriptsize alpha_; % einfaller Lichtstrahl tkzDefPo-rS drawcolorred thick S--A; % ablenkwinkel filldrawcoloryellow fillyellow!!white A--A+. arc :-aedX-azdX:.--cycle; node at A+-aedX-azdX/:. scriptsize delta_; % theoretisch weiterlaufer Strahl drawdashed colorred A--A+; % erstgebrochener Lichtstrahl drawcolorred thick A--B; drawcolorred dashed B--B+-aedX+azdX:; scope tikzpicture center %%% item bf Reflexion des Strahles im Tropfen Der Lichtstrahl innerhalb des Wassertropfens wird nun an der Grenzfläche Wasser/Luft reflektiert. Ein Teil tritt natürlich auch aus dem Tropfen heraus in die Luft über und wird dort gebrochen aber dieser Anteil eresiert uns nicht. Gemäss Reflexionsgesetz ist der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel womit man folge Skizze erhält: %%%% SKIZZE %%% center tikzpicture scope % Wassertropfen filldrawcolorblue fillblue!!white circle R; % Punkte zeichnen tkzDefPoO tkzDefPo-R*cosasinr/RrA tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXB tkzDefPoR*cosd-*azdX+aedX-R*sind-*azdX+aedXC foreach P in OABC node at Pcirclefillinner seppt; % optische Achsen drawdashed O--A; drawdashed O--B+*azdX-aedX:.; % gleichschenkliges Dreieck herlegen filldrawwhite opacity. --A--B--cycle; % Winkel alpha_ filldrawcolorgreen fillgreen!!white A-- A+-aedX:. arc-aedX:-aedX+azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Az at A+-aedX+azdX/:. tiny alpha_; % Winkel alpha_ als Reflexionswinkel filldrawcolorgreen fillgreen!!white B-- B+-dddX:. arc-dddX:-dddX-azdX:. -- cycle; filldrawcolorgreen fillgreen!!white B-- B+-dddX-azdX:. arc-dddX-azdX:-dddX-*azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Ba at B+-dddX-.*azdX:. tiny alpha_; nodecolorgreen Bb at B+-dddX-.*azdX:. tiny alpha_; % alpha_ ausserhalb des Tropfens filldrawcolorgreen fillgreen!!white B-- B+*azdX-aedX:. arc*azdX-aedX:*azdX-aedX-azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Bc at B+*azdX-aedX-azdX/:. tiny alpha_; % ablenkwinkel delta filldrawcoloryellow fillyellow!!white opacity. B--B+*azdX-aedX-azdX:. arc *azdX-aedX-azdX:*azdX-aedX-azdX-+*azdX:.--cycle; node at B+*azdX-aedX-azdX-+azdX:. scriptsize delta_; % einfaller Lichtstrahl tkzDefPo-rS drawcolorred thick S--A; % erstgebrochener Lichtstrahl drawcolorred thick A--B; % weiterlaufer Lichtstrahl ab B drawcolorred dashed B--B+-aedX+azdX:; % zweitgebrochener Lichtstrahl drawcolorred thick B--C; % weiterlaufer Lichtstrahl ab C drawcolorred dashed C--C+-dddX:.; scope tikzpicture center Aus der Skizze wird relativ einfach ersichtlich dass der Strahl innerhalb des Tropfens durch die Reflexion um delta_ pi - alpha_ pi - arcsinfracrnR aus seiner Richtung abgelenkt wird. %%% item textbfAustreter Strahl Dieser reflektierte Strahl trifft nun abermals auf die Grenzfläche Wasser/Luft; diesmal eressieren wir uns für den austreten dabei gebrochenen Strahl. %%%% SKIZZE %%% center tikzpicture scope % Wassertropfen filldrawcolorblue fillblue!!white circle R; % Punkte zeichnen tkzDefPoO tkzDefPo-R*cosasinr/RrA tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXB tkzDefPoR*cosd-*azdX+aedX-R*sind-*azdX+aedXC tkzDefPo*cosd-*azdX+aedX-*sind-*azdX+aedXCo foreach P in OABC node at Pcirclefillinner seppt; % optische Achsen drawdashed O--Co; drawdashed O--B; % gleichschenkliges Dreieck herlegen filldrawwhite opacity. --B--C--cycle; % Winkel alpha_ als Reflexionswinkel filldrawcolorgreen fillgreen!!white B-- B+-dddX:. arc-dddX:-dddX-azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Ba at B+-dddX-.*azdX:. tiny alpha_; % winkel alpha_ im Punkt C filldrawcolorgreen fillgreen!!white C-- C+*azdX-aedX-azdX-*+*azdX:. arc*azdX-aedX-azdX-*+*azdX:*azdX-aedX-azdX-*+*azdX+azdX:. -- cycle; nodecolorgreen Ca at C+*azdX-aedX-azdX-*+*azdX+azdX/:. tiny alpha_; % winkel alpha_ im Punkt C %tkzDefPoR*cosd-*azdX+aedX-R*sind-*azdX+aedXC filldrawcolorgreen fillgreen!!white C-- C+-azX:. arc-azX:-azX-aedX:. -- cycle; nodecolorgreen Ca at C+-azX-aedX/:. tiny alpha_; % einfaller Lichtstrahl tkzDefPo-rS drawcolorred thick S--A; % erstgebrochener Lichtstrahl drawcolorred thick A--B; % zweitgebrochener Lichtstrahl drawcolorred thick B--C; % weiterlaufer Lichtstrahl ab C drawcolorred dashed C--C+-dddX:.; % austreter Lichtstrahl ab C drawcolorred thick C--C+-azX-aedX:.; scope tikzpicture center Da die Situation dieselbe ist wie im ersten Schritt gilt unverändert das Snellius'sche Brechungsgesetz n sinalpha_ sinalpha_ fracrR und der Strahl tritt unter dem Winkel alpha_ zur optischen Achse aus dem Wasser in die Luft über. Mit einer ähnlichen Argumentation wie im zweiten Schritt kann man sehen dass der reflektierte Strahl dabei um den Winkel delta_ delta_ alpha_-alpha_ abgelenkt wird. %%% item textbfAblenkwinkel Insgesamt wurde der in den Tropfen erete Strahl auf seinem Weg durch den Tropfen um delta delta_ + delta_ + delta_ delta_ + delta_ alpha_-alpha_ + pi - alpha_ pi + alpha_ -alpha_ pi + alpha_ -alpha_ pi + arcsinfracrR - arcsinfracrnR aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt. %%%% SKIZZE %%% center tikzpicture scope % Wassertropfen filldrawcolorblue fillblue!!white circle R; % Punkte zeichnen tkzDefPoO tkzDefPo-R*cosasinr/RrA tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXB tkzDefPoR*cosd-*azdX+aedX-R*sind-*azdX+aedXC tkzDefPo*cosd-*azdX+aedX-*sind-*azdX+aedXCo tkzDefPor+R*sind-*azdX+aedX/tand-azX-aedX+R*cosd-*azdX+aedXrD foreach P in OABCD node at Pcirclefillinner seppt; % ablenkwinkel delta filldrawcoloryellow fillyellow!!white D--D+. arc:-deldX:.--cycle; node at D+-deldX/:. delta; % Lichtstrahl tkzDefPo-rS drawcolorred thick S--A--B--C--C+-azX-aedX:.; % theoretisch weiterlaufer Strahl von A drawdashed colorred A--A+.; % theoretisch weiterlaufer Strahl von C drawdashed colorred C--C+-azX-aedX:-.; scope tikzpicture center Dieser Ablenkwinkel delta hängt vom Abstand des Lichtstrahls zur Äquatorialebene r ab. Man nennt r auch den Stossparameter. Für verschiedne Abstände bzw. Lichtstrahlen ergibt sich folges Bild: center tikzpicture colorletmyblueblue!!black colorletmyredblack!!red colorletwatercolblue!!cyan! tikzstylemyarr-Latexlengthwidth tikzstylewaterball colorwatercol tikzset beam/.stylevery thickline caproundline joinround scopescale. defL % length of ray outside droplet defR. % droplet radius defna. % air defnw. % water defN % number of rays coordinate O at ; % WATER DROPLET fillwater O circle R; fillwatercol!opacity. O circle R; drawblue O circle R; % LIGHT RAYS foreach i evaluate y.-i*./N*R; % impact parameter alphI+acosy/R; % A: incident - thetI-alphI; % theta_: incident thetIIasinna/nw*sinthetI; % theta_: air - water & reflection alphIIalphI+*thetII-; % C: reflected alphIIIalphI+*thetII-; % D: exiting f-i*/N; % color fraction s.-.*i/N+.*y.*R; % scale in ...N coordinate A at -L-.*Ry; % incident ray coordinate B at alphI:R; % entry of incident coordinate C at alphII:R; % ernal reflection coordinate D at alphIII:R; % exit of ray coordinate Ei at D+alphIII-thetI:s*L; % final ray to observer drawbeamred!f!blueline width. A -- B -- C -- D -- Ei; scope tikzpicture center Man kann sehen dass die gleichmässig ereten Lichtstrahlen den Wassertropfen nicht ebenso gleichmässig verteilt verlassen. Die Häufung findet beim minimalen Ablenkwinkel statt. Es ist also das Minimum dieses Ablenkwinkels delta als Funktion des Stossparameters zu finden. Der Graph der Funktion deltar sieht folgermassen aus: center tikzpicture axis domain:samples xmin xmax. ymin ymax axis linescenter anchororiginxcmy.cm gridboth xlabelr ylabeldelta axis line stylegreen!!black x label stylecolorgreen!!black right latex xticklabel stylegreen!!black y label stylecolorgreen!!black above latex yticklabel stylegreen!!black addplotred +*asinx-*asinx/.; addplotmark* colorblue coordinates ..; axis tikzpicture center Die Ableitung von deltar ist delta'r fracRsqrt-fracr^R^ - fracnRsqrt-fracr^n^R^ wobei verwet wurde dass fracddddx arcsinx fracsqrt-x^. Die Nullstelle von deltar ist da wo delta'r: delta'r &mustbe fracsqrt-fracr^R^ fracnsqrt-fracr^n^R^ -fracr^R^ fracn^ - fracn^ fracr^n^R^ frac fracr^R^-fracr^R^ fracn^ - r^- r^ n^R^ - R^ r^ -n^R^ r sqrtfrac-n^R . deltar .rad .degree %%% item textbfSichtwinkel zum Regenbogen Als Betrachter eines Regenbogens sieht man also den Regenbogen unter einem Winkel von gamma pi - delta pi - leftpi + arcsinfracrR - arcsinfracrnRright arcsinfracrnR- arcsinfracrR &approx degree zu den Sonnenstrahlen. Anders gesprochen: Blickt man in Richtung der Sonnenstrahlen und dann um den Winkel gamma enqoutenach oben so sieht man dort den Hauptregenbogen. %%%% SKIZZE %%% center tikzpicture scoperotat % Wassertropfen filldrawcolorblue fillblue!!white circle R; % Punkte zeichnen tkzDefPoO tkzDefPo-R*cosasinr/RrA tkzDefPoR*cosd*azdX-aedXR*sind*azdX-aedXB tkzDefPoR*cosd-*azdX+aedX-R*sind-*azdX+aedXC tkzDefPo*cosd-*azdX+aedX-*sind-*azdX+aedXCo tkzDefPor+R*sind-*azdX+aedX/tand-azX-aedX+R*cosd-*azdX+aedXrD tkzDefPo-+R*sind-*azdX+aedX/tand-azX-aedX+R*cosd-*azdX+aedX-E foreach P in OABCDE node at Pcirclefillinner seppt; % sichtwinkel gamma oben filldrawcolorgreen fillgreen D--D+-. arc:+-deldX:.--cycle; node at D++-deldX/:. gamma; % sichtwinkel gamma unten filldrawcolorgreen fillgreen E--E+. arc:-deldX:.--cycle; node at E+-deldX/:. gamma; % Lichtstrahl tkzDefPo-rS drawcolorred thick S--A--B--C--C+-azX-aedX:.; % theoretisch weiterlaufer Strahl von A drawdashed colorred A--A+.; % theoretisch weiterlaufer Strahl von C drawdashed colorred C--C+-azX-aedX:-.; % sonnenstrahl bei beobachter drawdashedcolorred -----; nodebelow at E tiny Beobachter; scope tikzpicture center enumerate