Exercise:
Ein Lichtstrahl treffe unter dem Winkel alpha zur optischen Achse auf eine planparallele Glasplatte Brechzahl n Dicke d. Zeige dass der austrete Lichtstrahl parallel zum ereten Lichtstrahl ist und gib den Parallelversatz an.

Solution:
center tikzpictureLatex line width.pt scale. % Glasplatte zwei parallele Grenzflächen fillblue! - rectangle -; drawthick - -- noderight Grenzfläche ; drawthick -- -- - noderight Grenzfläche ; node at - Glas n Dicke d; % Erittspunkt und Austrittspunkt coordinate A at ; coordinate B at .-; % Hilfskoordinaten für die Normalen benannt statt inline! coordinate Ntop at .; coordinate Nbot at -.; coordinate Ntop at .-.; coordinate Nbot at .-.; % Normalen gestrichelt drawdashed gray Ntop -- Nbot; drawdashed gray Ntop -- Nbot; % Einfaller Strahl coordinate P at -..; draw- thick red P -- A nodemidway above left einfall; % Gebrochener Strahl im Glas draw- thick red A -- B; % Austreter Strahl parallel zum einfallen coordinate P at .-.; draw- thick red B -- P nodemidway below right austret; % Hilfslinie: Parallelversatz s coordinate S at B + -.-.; drawdotted gray A -- ++.-.; draw- thick B -- S; drawdotted gray B -- .- -- S; % Winkel jetzt mit benannten Koordinaten pic"alpha" draw angle radius.cm angle eccentricity. angle P--A--Ntop; pic"beta" draw angle radius.cm angle eccentricity. angle Nbot--A--B; pic"beta" draw angle radius.cm angle eccentricity. angle A--B--Nbot; pic"alpha" draw angle radius.cm angle eccentricity. angle Ntop--B--P; nodebelow left at S s; tikzpicture center noindent textbfSchritt -- Brechung an der ersten Grenzfläche. Nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz gilt beim Übergang Luft n_textLuft to Glas n: sinalpha n sinbeta wobei beta der Brechungswinkel im Glas ist. medskip noindent textbfSchritt -- Geometrie der Platte. Da die beiden Grenzflächen der Platte parallel zueinander sind sind auch die zugehörigen Normalen parallel. Der im Glas geradlinig verlaufe Strahl trifft daher auf die zweite Grenzfläche unter demselben Winkel beta zur parallelen Normalen wie beim Austritt aus der ersten Grenzfläche -- dies folgt aus den Wechselwinkeln an den beiden parallelen Normalen mit der Transversalen dem Strahl im Glas. medskip noindent textbfSchritt -- Brechung an der zweiten Grenzfläche. Beim Übergang Glas n to Luft gilt: n sinbeta sinalpha' . Durch Vergleich mit Gleichung folgt sofort sinalpha' nsinbeta sinalpha quadLongrightarrowquad alpha' alpha . medskip noindent textbfSchluss Parallelität. Der austrete Strahl schliesst also mit der zur ersten Normalen parallelen zweiten Normalen denselben Winkel alpha ein wie der einfalle Strahl mit der ersten Normalen. Da beide Normalen parallel sind folgt dass der austrete Strahl textbfparallel zum einfallen Strahl verläuft -- er ist lediglich seitlich versetzt. qed bigskip noindent textbfBerechnung des Parallelversatzes s. Die Weglänge des Strahls innerhalb der Platte Dicke d Brechungswinkel beta beträgt ell fracdcosbeta. Der seitliche Versatz s senkrecht zur Strahlrichtung ergibt sich aus der Winkeldifferenz alpha - beta zwischen der ungebrochenen gedachten Fortsetzung des einfallen Strahls und dem tatsächlichen Strahl im Glas: s ell sinalpha - beta fracd sinalpha - betacosbeta. Mit beta arcsin!leftdfracsinalphanright aus Gleichung lässt sich s vollständig durch alpha n und d ausdrücken: boxeds dsinalpha left - fraccosalphasqrtn^-sin^alpharight medskip noindent Herleitung von : Mit cosbeta sqrt-sin^beta sqrt - tfracsin^alphan^ dfracsqrtn^-sin^alphan und sinalpha-beta sinalphacosbeta - cosalphasinbeta folgt nach Einsetzen von sinbeta sinalpha/n und cosbeta in Gleichung direkt der Ausdruck .