Exercise
https://texercises.com/exercise/linearitat-des-integrals-von-treppenfunktionen/
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Exercise:
Beweisen Sie folge Aussage: Die nicht-leere Menge mathcalTFab f in mathcalF ab | f textist eine Treppenfunktion der Treppenfunktionen auf dem Intervall ab ist ein Unterraum des Vektorraums mathcalFab der reellwertigen Funktionen auf ab. Des Weiteren ist die Abbildung : mathcalTFabrightarrow mathbbR linear. Das heisst für alle fg in mathcalTFab und s in mathbbR f+g in mathcalTFab sf in mathcalTFab und es gilt _a^b f+g ddx _a^b f ddx+_a^b f ddx _a^b sf ddx s _a^b f ddx

Solution:
Beweis. Falls zeta_f eine Zerlegung in Konstanzervalle von f und zeta_g eine Zerlegung in Konstanzervalle von g ist dann existiert eine gemeinsame Verfeinerung zeta ax_ x_ ... x_n- x_n b von zeta_f und zeta_g. Dies ist eine Zerlegung in Konstanzervalle von f und g. Seien c_...c_n respektive d_...d_n in mathbbR die Konstanzwerte von f respektive f bezüglich der Zerlegung zeta das heisst es gilt forall x in x_k-x_k:fxc_k textund gxd_k für alle k in ...n. Insbesondere ergibt dies für alle k in ...n forall x in x_k-x_k:fx+gxc_k textund sfxsc_k und erhalten f+g sf in mathcalTFab. Des Weiteren gilt _a^b f+g ddx If+gzeta _i^n c_k+d_kDelta x_k _i^n c_k+d_kDelta x_k Ifzeta+Igzeta _a^b f ddx+_a^b g ddx und ebenso _a^b sf ddx Isfzeta _i^n sc_kDelta x_k s_i^n c_kDelta x_k sIfzeta s_a^b f ddx
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Beweisen Sie folge Aussage: Die nicht-leere Menge mathcalTFab f in mathcalF ab | f textist eine Treppenfunktion der Treppenfunktionen auf dem Intervall ab ist ein Unterraum des Vektorraums mathcalFab der reellwertigen Funktionen auf ab. Des Weiteren ist die Abbildung : mathcalTFabrightarrow mathbbR linear. Das heisst für alle fg in mathcalTFab und s in mathbbR f+g in mathcalTFab sf in mathcalTFab und es gilt _a^b f+g ddx _a^b f ddx+_a^b f ddx _a^b sf ddx s _a^b f ddx

Solution:
Beweis. Falls zeta_f eine Zerlegung in Konstanzervalle von f und zeta_g eine Zerlegung in Konstanzervalle von g ist dann existiert eine gemeinsame Verfeinerung zeta ax_ x_ ... x_n- x_n b von zeta_f und zeta_g. Dies ist eine Zerlegung in Konstanzervalle von f und g. Seien c_...c_n respektive d_...d_n in mathbbR die Konstanzwerte von f respektive f bezüglich der Zerlegung zeta das heisst es gilt forall x in x_k-x_k:fxc_k textund gxd_k für alle k in ...n. Insbesondere ergibt dies für alle k in ...n forall x in x_k-x_k:fx+gxc_k textund sfxsc_k und erhalten f+g sf in mathcalTFab. Des Weiteren gilt _a^b f+g ddx If+gzeta _i^n c_k+d_kDelta x_k _i^n c_k+d_kDelta x_k Ifzeta+Igzeta _a^b f ddx+_a^b g ddx und ebenso _a^b sf ddx Isfzeta _i^n sc_kDelta x_k s_i^n c_kDelta x_k sIfzeta s_a^b f ddx
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, proof
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Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration