Exercise:
Seien f_f_ R-bare reellwertige Funktionen auf einem abgeschlossenen Quader Qsubseteq mathbbR^n und s_s_in mathbbR. Dann ist auch die Linearkombination s_f_+s_f_ R-bar und es gilt _Qs_f_+s_f_ textdvols__Qf_ textdvol+s__Qf_ textdvol.

Solution:
Beweis. Sei f:Qrightarrow mathbbR R-bar und s . Weiter sei zeta eine Zerlegung von Q. Dann gilt Usfzeta _Q_alphasqsubset zetatextinfsfQ_alphatextvolQ_alpha _Q_alphasqsubset zetastextinffQ_alphatextvolQ_alpha sUfzeta und analog sOfzetaOsfzeta. Insbesondere ist underlineIsfsunderlineIfsoverlineIfoverlineIsf. Somit ist sf R-bar und es gilt _Q sf textdvols_Q f textdvol. Für s gibt es nichts zu zeigen und für s gilt UsfzetasOfzetaquad OsfzetasUfzeta für jede Zerlegung zeta von Q womit der Rest analog folgt. Man zeigt nun Additivität des Integrals. Seien also f_f_:Qrightarrow mathbbR zwei R-bare Funktionen und zeta eine Zerlegung von Q. Man bemerkt nun zuerst dass wegen f_+f_Q_alphasubseteq f_Q_alpha+f_Q_alpha_ auch Uf_+f_zeta _Q_alphasqsubset zetatextinff_+f_Q_alphatextvolQ_alpha &geq _Q_alphasqsubset zetatextinff_Q_alpha+textinff_Q_alphatextvolQ_alpha Uf_zeta+Uf_zeta gilt. Analog zeigt man Of_+f_zetaleq Of_zeta+Of_zeta. Nach Lemma . existiert zu epsilon nach Verfeinerung eine Zerlegung zeta mit underlineIf_i-epsilon leq Uf_izetaleq Of_izetaleq overlineIf_i+epsilon für i. Dies ergibt underlineIf_+underlineIf_-epsilon &leq Uf_zeta+Uf_zeta &leq Uf_+f_zeta &leq Of_+f_zeta &leq Of_zeta+Of_zeta &leq overlineIf_+overlineIf_+epsilon. Somit gilt nach R-Intbarkeit von f_ und f_ _Q f_ textdvol+_Q f_ textdvol-epsilon &leq underlineIf_+f_ &leq overlineIf_+f_ &leq _Q f_ textdvol+_Q f_ textdvol+epsilon und da epsilon beliebig war folgt die Aussage.