Exercise:
Die Menge mathcalR ab f in mathcalFab| f ist Riemann-egrierbar der R-baren Funktionen auf ab bildet einen Unterraum von mathcalFab und das Integral ist eine lineare Funktion auf mathcalRab. Das heisst für f_f_ in mathcalRab und s in mathbbR ist f_+f_ sf in mathcalRab und _a^b f_+f_x ddx _a^b f_x ddx+_a^b f_x ddx _a^b sfx ddx s_a^b fx ddx Im Beweis folges allgemeines Prinzip mehrmals anwen. Falls A subseteq B nicht-leere Teilmengen von mathbbR sind und B von oben beschränkt ist dann ist textsupB eine obere Schranke von A und daher textsupAleq textsupB Satz .. Analog gilt textinfA geq textinfB falls B von unten beschränkt ist.

Solution:
Aus einer vorherigen Übung folgt die Inklusion mathcalTFab subseteq mathcalRab und s geq . Für Treppenfunktionen uo in mathcalTFab mit u leq f leq o gilt somit su leq sf leq so. Mit s _a^b uxddx _a^b suxddx und s _a^b oxddx _a^b soxddx nach vorigem Lemma . folgt smathcalUfsubseteq mathcalUsf und smathcalOfsubseteq mathcalOsf. In der Tat ist smathcalUf lefts_a^b uxddx | u in mathcalTFab u leq fright left_a^b suxddx | u in mathcalTFab su leq sfright eine Teilmenge mathcalUsf und analog für smathcalOfsubseteq mathcalOsf. Aus der Bemerkung vor dem Beweis folgt textsupsmathcalUf leq textsupmathcalUsf underlineIsf leq overlineIsf textinfmathcalOsf leq textinfsmathcalOf. Nach Proposition . ist jedoch sunderlineIfstextsupmathcalUf textsupsmathcalUf leq underlineIsf leq overlineIsf leq textinfsmathcalOf stextinfmathcalOf soverlineIf. Da aber f R-bar ist und somit underlineIfoverlineIf_a^b fxddx erfüllt ist gilt in obiger Abschätzung wegen Gleichheit der kleinsten und der grössten Zahl überall Gleichheit und man schliesst underlineIsfoverlineIsfs_a^b fxddx Damit ist sf R-bar mit Integral s_a^b fxddx. Ist s so kehren sich in obigem alle Abschätzungen die s beinhalten um z.B. so leq sf leq su und man erhält vollkommen analog die gewünschte Aussage. Man zeigt nun Additivität des Integrals. Seien also f_f_ in mathcalRab zwei R-bare Funktionen auf ab und u_u_o_o_ in mathcalTFab Treppenfunktionen mit u_leq f_ leq o_ u_leq f_ leq o_ Dann ist auch u_+u_leq f_+f_ leq o_+o_ was gemäss Lemma . mathcalUf_+mathcalUf_subseteq mathcalUf_+f_ mathcalOf_+mathcalOf_subseteq mathcalOf_+f_ zur Folge hat. Des Weiteren gilt nach Proposition . dass textsupmathcalUf_+mathcalUf_ textsupmathcalUf_+ textsupmathcalUf_ underlineIf_+underlineIf_ _a^b f_xddx+_a^b f_xddx nach R-barkeit von f_ und f_ und ebenso textinfmathcalOf_+mathcalUf_ textinfmathcalOf_+ textinfmathcalOf_ overlineIf_+overlineIf_ _a^b f_xddx+_a^b f_xddx Gemeinsam mit der Bemerkung vor dem Beweis ergibt sich nun wiederum _a^b f_xddx+_a^b f_xddx textsupmathcalUf_+mathcalUf_ &leq textsupmathcalUf_+f_ underlineIf_+f_ &leq overlineIf_+f_ textinfmathcalOf_+f_ &leq textinfmathcalOf_+textinfmathcalOf_ _a^b f_xddx+_a^b f_xddx Dies zeigt underlineIf_+f_overlineIf_+f_ _a^b f_xddx+_a^b f_xddx und insbesondere R-Intbarkeit von f_+f_. Somit ist Linearität bewiesen.