Exercise:
Nehmen wir an wir bohren ein Loch durch die Erde. Das Loch soll vereinfach durch den Mittelpunkt der Erde gehen. Wie wir im Unterricht gesehen haben ist der Betrag der Kraft auf einen Körper innerhalb der Erde im Abstand y R gegeben als: F_Gyr_E GfracmMR^y wobei G die Gravitationskonstante M die Erdmasse und R der Erdradius sind. enumerate item Zeigen Sie dass eine Masse m welche man durch das Loch fallen lässt eine harmonische Schwingung vollzieht und bestimmen Sie die Kreisfrequenz omega_ dieser Schwingung. item Bestimmen Sie die Zeit welche die Masse braucht um durch die Erde zu fallen. item Wie lautet die explizite Vorschrift für diese Schwingung sofern die Masse ohne Anfangsgeschwindigkeit vom Nordpol aus losgelassen wird. enumerate

Solution:
enumerate item Um zu zeigen dass es sich um eine harmonische Schwingung handelt muss die Bewegungsgleichung für die Kugel die Form: ddoty -omega_^ yqquad text. Pkte haben wobei omega_ konstant sein muss und der Winkelgeschwindigkeit entspricht. Die Bewegungsgleichung für die Kugel der Masse m lautet: F_res mddoty myRarrow -F_Gy mddoty. Daraus erhalten wir direkt: - GfracmMR^y mddoty myRarrow - GfracMR^y ddotyqquad text. Pkte wobei omega_^ GfracMR^ ist. Damit ist die Winkelgeschwindigkeit: omega_ sqrtGfracMR^ apx .^-fracs.qquad text. Pkte Beachten Sie dass man bei der Differentialgleichung nicht einfach nur die Beträge betrachten kann. Da y nach oben gemessen wird und die Kraft jedoch nach unten zeigt braucht es an dieser Stelle ein Minus. item Die Zeit um durch die Erde zu fallen entspricht der halben Periode. Damit erhalten wir: fracT fracpiomega_ fracpiomega_ apx .min qquad text. Pkte item Der allgemeine Ansatz für eine harmonische Schwingung lautet: yt hatycosomega_t + varphi_.qquad text. Pkte Mit den Anfangsbedingungen yt R und dotyt erhalten wir: eqnarray* dotyt haty sin varphi_ &myRarrow& varphi_ qquad text. Pktemm yt R haty cos varphi_ haty &myRarrow& haty R qquad text. Pkte eqnarray* Damit erhalten wir: yt Rcosomega_t.qquad text. Pkte enumerate