Lokale Darstellbarkeit durch Graphen
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
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Exercise:
Eine Teilmenge Msubseteq mathbbR^n ist genau dann eine k-dimensionale Teilmannigfalitgkeit wenn es zu jedem Punkt pin M eine offene Umgebung U_p von p in mathbbR^n eine glatte Funktion f_p:tildeU_prightarrow mathbbR^n-k auf einer offenen Teilmenge tildeU_p subseteq mathbbR^k und ein sigmain S_n gibt so dass Mcap U_p P_sigmatextGraphf_p.
Solution:
Beweis. Angenommen M ist eine k-dimensionale Teilmannigfaltigkeit. Sei pin M U_p eine offene Umgebung von pin mathbbR^n und phi_p: U_prightarrow V_psubseteq mathbbR^n ein Diffeomorphismus wie in Definition . mit phi_pp. Sei psi:y_...y_kin -epsilon epsilon^kmapsto phi_p^-y_...y_k...in M für ein epsilon klein genug. Dann hat das Differential textD_phi Rang k womit k linear unabhängige Zeilen in textD_psi existieren. Nach Koordinatenvertauschung von hier stammt sigma in der Aussage kann man annehmen dass diese Zeilen die ersten k sind. Damit hat die Abbildung g:yin -epsilon epsilon^kmapsto psi_y...psi_ky^t ein invertierbares Differential bei . Also existiert nach dem Satz zur inversen Abbildung Satz . eine nicht-leere offene Menge Usubseteq -epsilon epsilon^k so dass die Einschränkung von g auf U ein Diffeomorphismus ist. Man betrachtet nun die Abbildung fpsicirc g|_U^-:gUrightarrow M. Für ileq k und alle yin gU gilt f_iypsi_ig|_U^-yy_i nach Konstruktion. Die Teilmannigfaltigkeit M ist also lokal der Graph der Abbildung yin gUmapsto f_k+y...f_ny nach Permutation der Koordinaten womit der erste Teil der Aussage bewiesen ist. Für die Umkehrung kann man analog vorgehen wie in Beispiel .c.
Eine Teilmenge Msubseteq mathbbR^n ist genau dann eine k-dimensionale Teilmannigfalitgkeit wenn es zu jedem Punkt pin M eine offene Umgebung U_p von p in mathbbR^n eine glatte Funktion f_p:tildeU_prightarrow mathbbR^n-k auf einer offenen Teilmenge tildeU_p subseteq mathbbR^k und ein sigmain S_n gibt so dass Mcap U_p P_sigmatextGraphf_p.
Solution:
Beweis. Angenommen M ist eine k-dimensionale Teilmannigfaltigkeit. Sei pin M U_p eine offene Umgebung von pin mathbbR^n und phi_p: U_prightarrow V_psubseteq mathbbR^n ein Diffeomorphismus wie in Definition . mit phi_pp. Sei psi:y_...y_kin -epsilon epsilon^kmapsto phi_p^-y_...y_k...in M für ein epsilon klein genug. Dann hat das Differential textD_phi Rang k womit k linear unabhängige Zeilen in textD_psi existieren. Nach Koordinatenvertauschung von hier stammt sigma in der Aussage kann man annehmen dass diese Zeilen die ersten k sind. Damit hat die Abbildung g:yin -epsilon epsilon^kmapsto psi_y...psi_ky^t ein invertierbares Differential bei . Also existiert nach dem Satz zur inversen Abbildung Satz . eine nicht-leere offene Menge Usubseteq -epsilon epsilon^k so dass die Einschränkung von g auf U ein Diffeomorphismus ist. Man betrachtet nun die Abbildung fpsicirc g|_U^-:gUrightarrow M. Für ileq k und alle yin gU gilt f_iypsi_ig|_U^-yy_i nach Konstruktion. Die Teilmannigfaltigkeit M ist also lokal der Graph der Abbildung yin gUmapsto f_k+y...f_ny nach Permutation der Koordinaten womit der erste Teil der Aussage bewiesen ist. Für die Umkehrung kann man analog vorgehen wie in Beispiel .c.
Meta Information
Exercise:
Eine Teilmenge Msubseteq mathbbR^n ist genau dann eine k-dimensionale Teilmannigfalitgkeit wenn es zu jedem Punkt pin M eine offene Umgebung U_p von p in mathbbR^n eine glatte Funktion f_p:tildeU_prightarrow mathbbR^n-k auf einer offenen Teilmenge tildeU_p subseteq mathbbR^k und ein sigmain S_n gibt so dass Mcap U_p P_sigmatextGraphf_p.
Solution:
Beweis. Angenommen M ist eine k-dimensionale Teilmannigfaltigkeit. Sei pin M U_p eine offene Umgebung von pin mathbbR^n und phi_p: U_prightarrow V_psubseteq mathbbR^n ein Diffeomorphismus wie in Definition . mit phi_pp. Sei psi:y_...y_kin -epsilon epsilon^kmapsto phi_p^-y_...y_k...in M für ein epsilon klein genug. Dann hat das Differential textD_phi Rang k womit k linear unabhängige Zeilen in textD_psi existieren. Nach Koordinatenvertauschung von hier stammt sigma in der Aussage kann man annehmen dass diese Zeilen die ersten k sind. Damit hat die Abbildung g:yin -epsilon epsilon^kmapsto psi_y...psi_ky^t ein invertierbares Differential bei . Also existiert nach dem Satz zur inversen Abbildung Satz . eine nicht-leere offene Menge Usubseteq -epsilon epsilon^k so dass die Einschränkung von g auf U ein Diffeomorphismus ist. Man betrachtet nun die Abbildung fpsicirc g|_U^-:gUrightarrow M. Für ileq k und alle yin gU gilt f_iypsi_ig|_U^-yy_i nach Konstruktion. Die Teilmannigfaltigkeit M ist also lokal der Graph der Abbildung yin gUmapsto f_k+y...f_ny nach Permutation der Koordinaten womit der erste Teil der Aussage bewiesen ist. Für die Umkehrung kann man analog vorgehen wie in Beispiel .c.
Eine Teilmenge Msubseteq mathbbR^n ist genau dann eine k-dimensionale Teilmannigfalitgkeit wenn es zu jedem Punkt pin M eine offene Umgebung U_p von p in mathbbR^n eine glatte Funktion f_p:tildeU_prightarrow mathbbR^n-k auf einer offenen Teilmenge tildeU_p subseteq mathbbR^k und ein sigmain S_n gibt so dass Mcap U_p P_sigmatextGraphf_p.
Solution:
Beweis. Angenommen M ist eine k-dimensionale Teilmannigfaltigkeit. Sei pin M U_p eine offene Umgebung von pin mathbbR^n und phi_p: U_prightarrow V_psubseteq mathbbR^n ein Diffeomorphismus wie in Definition . mit phi_pp. Sei psi:y_...y_kin -epsilon epsilon^kmapsto phi_p^-y_...y_k...in M für ein epsilon klein genug. Dann hat das Differential textD_phi Rang k womit k linear unabhängige Zeilen in textD_psi existieren. Nach Koordinatenvertauschung von hier stammt sigma in der Aussage kann man annehmen dass diese Zeilen die ersten k sind. Damit hat die Abbildung g:yin -epsilon epsilon^kmapsto psi_y...psi_ky^t ein invertierbares Differential bei . Also existiert nach dem Satz zur inversen Abbildung Satz . eine nicht-leere offene Menge Usubseteq -epsilon epsilon^k so dass die Einschränkung von g auf U ein Diffeomorphismus ist. Man betrachtet nun die Abbildung fpsicirc g|_U^-:gUrightarrow M. Für ileq k und alle yin gU gilt f_iypsi_ig|_U^-yy_i nach Konstruktion. Die Teilmannigfaltigkeit M ist also lokal der Graph der Abbildung yin gUmapsto f_k+y...f_ny nach Permutation der Koordinaten womit der erste Teil der Aussage bewiesen ist. Für die Umkehrung kann man analog vorgehen wie in Beispiel .c.
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