Exercise:
Die Kugel mit der Masse m gram durchläuft die unten abgebildete Bahn mit einem Looping der Höhe H .m. Die Kugel wird zunächst durch Eindrücken und wieder Loslassen einer Startfeder mit Federkonstante D.N/cm beschleunigt. In Ruhelage befindet sich die Spitze dieser Startfeder in der Höhe h.m über der Horizontalen. Die Bahn schliesst zu Beginn mit der Horizontalen den Winkel alpha grad ein. Wir betrachten den Fall in dem die Masse m im höchsten Punkt des Loopings die Bahn gerade nicht verlässt. Reibungseffekte sind zu vernachlässigen. center tikzpicturescale. % Boden draw fillgray!drawnone - rectangle -.; draw very thick - -- ; % Looping draw very thick . circle cm; draw thick dashed- . -- node fillwhite H .; % Winkel draw very thick arc :.:cm; draw thickdashed . -- ++ -..*.; draw very thick .-..*. -- ++ -*.; draw thickdashed . arc ::.cm; node at .. alpha; % Feder Links draw very thick .-.-.*. -- ++ ..*.; draw decoratedecorationcoilsegment length. cmamplitude. cmaspect.drawblackthick .-.-+..*.+.*. -- ++.-.*.; % Kugel Links draw fillgraythick .. circle mm node rightxshiftmm m; draw thick dashed .. -- ++ -.; draw thick dashed- -- node fillwhite fns h .; % Masse Rechts draw fillgray!thick . rectangle node aboveyshiftmm M..; % Feder Rechts draw very thick . -- ++ .; draw decoratedecorationcoilsegment length. cmamplitude. cmaspect-.drawblackthick .. -- ++ -.; tikzpicture center enumerate item Bestimmen Sie die Strecke x um welche die Startfeder hierzu eingedrückt werden muss. Die Zunahme von h darf nicht vernachlässigt werden. ~Pkte item Mit welcher Geschwindigkeit v verlässt die Kugel den Looping am unteren Ende? ~Pkte item Auf der Horizontalen liegt ein Klotz der Masse M gram dessen Seitenflächen mit einem Klebstoff beschichtet sind. m bleibt an M kleben und beide Körper bewegen sich nach dem Stoss gemeinsam auf der Horizontalen weiter. Welcher Anteil in Prozenten der mechanischen Gesamtenergie geht bei diesem Stoss "verloren"? ~Pkte item Am Ende der Bahn befindet sich eine weitere Feder mit derselben Federkonstanten wie die Startfeder. Wie weit wird diese eingedrückt? ~Pkte enumerate

Solution:
enumerate item Die Gesamtenergie der Masse m bleibt auf ihrer Bewegung auf der Achterbahn erhalten. Die Energie zu Anfang der Bewegung - zusammengesetzt aus der potentiellen Energie der eingedrückten Feder und der potentiellen Energie der Masse - muss dabei der Summe der minimalen kinetischen Energie und potentiellen Energie im höchsten Punkt entsprechen: mgh + x sinalpha + fracDx^ fracmv_min^ + mgH. qquad text.~Pkte Die minimale Geschwindigkeit v_min erhält man aus der Bedingung dass die resultiere Kraft im höchsten Punkt der Kreisbewegung genau der Schwerkraft entspricht: F_res ma_Z myRarrow mg mfracv^_minH/ myRarrow v_min sqrtfracgH. qquad text.~Pkte Dies führt auf die quadratische Gleichung: mgh + x sinalpha + fracDx^ fracmgH + mgH qquad text~Pkt und das Resultat ist: x apx .cm. qquad text~Pkt item Aus der Energieerhaltung folgt: fracmv_min^ + mgH fracmv^ myRarrow fracgH fracv^. qquad text~Pkt und damit ist die Geschwindigkeit nach dem Looping: v sqrtfracgH apx .. qquad text~Pkt item Wir verwen die Impulserhaltung um die Geschwindigkeit nach dem unelastischen Stoss zu bestimmen: p mv m+mv' p' myRarrow v' fracmm+M sqrtfracgH apx ..qquad text~Pkt Der Anteil q der kinetischen Energie die bei diesem unelastischen Stoss in innere Energie umgewandelt wird ist q -fracE'_kinE_kin - fracfracm+Mv'^fracmv^ fracMm+M apx .. qquad text~Pkt item Hier wird wieder mit der Energieerhaltung gerechnet. Die kinetische Energie beider Massen nach dem Stoss entspricht der potentiellen Energie der Feder. Es gilt also: fracm+Mv'^ fracDx'^. qquad text~Pkt Daraus erhalten wir für die Strecke welche die zweite Feder zusammengedrückt wird: x' sqrtfracm^gHm+MD apx .cm. qquad text~Pkt enumerate