Mehrdimensionale Integrale und Zerlegungen
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Exercise:
Seien zeta zeta_...zeta_n und zeta' zeta_'...zeta_n' zwei Zerlegungen eines abgeschlossenen QUaders Q. Dann gilt Ufzetaleq Ofzeta' für jede beschränkte Funktion f:Qrightarrow mathbbR. Falls des Weiteren zeta' eine Verfeinerung von zeta ist das heisst für jedes kin ...n die Zerlegung zeta'_k eine Verfeinerung von zeta_k ist dann gilt Ufzetaleq Ufzeta'leq Ofzeta'leq Ofzeta. Insbesondere gilt für eine beschränkte Funktion f:Qrightarrow mathbbR die Ungleichung underlineIfleq overlineIf.
Solution:
Beweis. Angenommen zeta' ist eine Verfeinerung von zeta. Dann ist jeder offene Teilquader Q_beta' entsprech der Zerlegung zeta' in einem eindeutig bestimmten Teilquader Q_alpha entsprech der Zerlegung zeta enthalten und es gilt textinf fQ_beta'geq textinf fQ_alpha wegen fQ_beta'subseteq fQ_alpha und den Eigenschaften des Infimums. Gemeinsam mit der Additionsformel erhält man Ufzeta _Q_alphasqsubset zetatextinffQ_alphatextvolQ_alpha _Q_alphasqsubset zetatextinffQ_alpha_Q_beta'subseteq Q_alpha textvolQ_beta' _Q_alphasqsubset zeta _Q_beta'subseteq Q_alpha textinffQ_beta'textvolQ_beta' Ufzeta'. Der Beweis von Ofzeta'leq Ofzeta ist analog. Falls nun zeta und zeta' zwei beliebige Zerlegungen sind dann kann man eine gemeinsame Verfeinerung zeta'' definieren in dem man zeta_k''zeta_kcup zeta_k' für alle kin ...n als die Vereinigung definiert und erhält aus obigem Argument Ufzetaleq Ufzeta''leq Ofzeta''leq Ofzeta' wie gewünscht.
Seien zeta zeta_...zeta_n und zeta' zeta_'...zeta_n' zwei Zerlegungen eines abgeschlossenen QUaders Q. Dann gilt Ufzetaleq Ofzeta' für jede beschränkte Funktion f:Qrightarrow mathbbR. Falls des Weiteren zeta' eine Verfeinerung von zeta ist das heisst für jedes kin ...n die Zerlegung zeta'_k eine Verfeinerung von zeta_k ist dann gilt Ufzetaleq Ufzeta'leq Ofzeta'leq Ofzeta. Insbesondere gilt für eine beschränkte Funktion f:Qrightarrow mathbbR die Ungleichung underlineIfleq overlineIf.
Solution:
Beweis. Angenommen zeta' ist eine Verfeinerung von zeta. Dann ist jeder offene Teilquader Q_beta' entsprech der Zerlegung zeta' in einem eindeutig bestimmten Teilquader Q_alpha entsprech der Zerlegung zeta enthalten und es gilt textinf fQ_beta'geq textinf fQ_alpha wegen fQ_beta'subseteq fQ_alpha und den Eigenschaften des Infimums. Gemeinsam mit der Additionsformel erhält man Ufzeta _Q_alphasqsubset zetatextinffQ_alphatextvolQ_alpha _Q_alphasqsubset zetatextinffQ_alpha_Q_beta'subseteq Q_alpha textvolQ_beta' _Q_alphasqsubset zeta _Q_beta'subseteq Q_alpha textinffQ_beta'textvolQ_beta' Ufzeta'. Der Beweis von Ofzeta'leq Ofzeta ist analog. Falls nun zeta und zeta' zwei beliebige Zerlegungen sind dann kann man eine gemeinsame Verfeinerung zeta'' definieren in dem man zeta_k''zeta_kcup zeta_k' für alle kin ...n als die Vereinigung definiert und erhält aus obigem Argument Ufzetaleq Ufzeta''leq Ofzeta''leq Ofzeta' wie gewünscht.