Exercise:
Viele Probleme der speziellen Relativitätstheorie insbesondere Probleme die auf eine Raumdimension beschränkt sind lassen sich sehr anschaulich in sogenannten Minkowski Diagrammen darstellen. Dabei wird ein zum Bezugssystem S um die Geschwindigkeit v beschleunigtes System S' beschrieben indem die Raum- und Zeitachsen jeweils um den Winkel alpha arctan beta rotiert dargestellt werden wobei beta v/c ist vgl. Abb. links. center tikzpicturescale. %Helplines %draw step.colorgray! -- grid ; % Koordinatensystem S draw thick- -- node right x; draw thick- -- node above ct; % Koordinatensystem S' draw thick- -- node above ct'; draw thick- -- .. node right x'; % Lichtsignale draw Dandelion -- node above fns x^c^t^; % Winkel draw thick . arc :.:.cm; node at . fns alpha; % Winkel draw thick . arc :-.:.cm; node at . fns alpha; tikzpicture hspace.cm tikzpicturescale. %Helplines %draw step.colorgray! -- grid ; % Koordinatensystem S draw thick- -- node right x; draw thick- -- node above ct; % Koordinatensystem S' draw thick- -- node above ct'; draw thick- -- .. node right x'; % Lichtsignale draw Dandelion -- ; % Winkel draw thick . arc :.:.cm; node at . fns alpha; % Winkel draw thick . arc :-.:.cm; node at . fns alpha; % Punkt P und Abstand p draw thickred- -- node belowxshiftmm fns p ; draw fillredred .. circle .mm node above P; tikzpicture hspace.cm tikzpicturescale. %Helplines %draw step.colorgray! -- grid ; % Koordinatensystem S draw thick- -- node right x; draw thick- -- node above ct; % Koordinatensystem S' draw thick- -- node above ct'; draw thick- -- .. node right x'; % Lichtsignale draw Dandelion -- ; % Winkel draw thick . arc :.:.cm; node at . fns alpha; % Winkel draw thick . arc :-.:.cm; node at . fns alpha; % Weltlinie draw domain:.rotate around:bluethick plotidSRT_WL samples x.*exp.*x*sin*x r node above fns Weltlinie; tikzpicture center Ein Punkt P in der Raum-Zeit wird als Ereignis bezeichnet die -er Länge des Raum-Zeit-Vektors p als dessen Abstand vom Ursprung vgl. Abb. mitte wobei die -er Länge definiert ist als p^ c^t^-x^. Für den späteren Gebrauch definieren wir den Begriff der Weltlinie als den Weg in der Raum-Zeit den ein bestimmtes Objekt zurücklegt vgl. Abb. rechts. enumerate item Zeigen Sie dass die Winkel zwischen den Achsen von S und S' alpha arctan beta sein müssen und zeigen Sie dass alpha pi/ für alle vc. item Zeigen Sie dass die -er Länge des Vektors p invariant ist unter Lorentzboosts d.h. dass p^prime p^ wobei p' Lambda p pmatrix gamma & -gamma beta -gamma beta & gamma pmatrix pmatrix ctx pmatrix mit gamma /sqrt-beta^. item Die Koordinaten des Ereignisses P im System S seien P ct_x_. Finden Sie die Koordinaten ct'_x'_ des Ereignisses P in S'. item Zeichnen Sie die Menge M aller Ereignisse ein die im System S gleichzeitig mit P stattfinden d.h. die Menge der Ereignisse für die gilt ct ct_. item Zeichnen Sie die Menge M' aller Ereignisse ein die im System S' gleichzeitig mit P stattfinden d.h. die Menge der Ereignisse für die gilt ct' ct'_. item Welche funktionale Form ct fxp haben alle Ereignisse Q die in beiden Systemen den selben -er Abstand sqrtp^ vom Ursprung haben? Zeichnen Sie die Menge dieser Ereignisse ein qualitative Zeichnung genügt. enumerate

Solution:
enumerate item Für das Koordinatensystem S' gelten die Gleichungen der Lorentztransformation. Wir finden daher für die Achsen ct' hier gilt x': x' gamma x-vt myRarrow xvt fracvcct myRarrow fracxctfracvcbeta und mit tanalpha fracxct beta folgt die Behauptung. Für die Achse x' hier gilt ct': ct' gamma ct-beta x myRarrow fracctxfracvc beta und mit tanalpha fracxct beta folgt auch diese Behauptung. Der arctanbeta für beta dots liegt zwischen und pi/: center tikzpicturescale. % Koordinatensystem draw thick-latex -. -- node right beta; draw thick-latex -. -- node above arctanbeta; % Funktion draw domain:blue plotideTs samples x *atan.*x/*pi; % Beschriftung x foreach x in ..... draw *x -- *x-. nodebelow x; % Beschriftung y foreach y in ... draw *y -- -.*y nodeleft y; draw dashed .*pi/ -- -.*pi/ nodeleft pi/; tikzpicture center item Die Komponenten von p' sind p' pmatrix gamma ct -gamma beta x gamma x - gammabeta ct pmatrix gamma pmatrix ct -beta x x - beta ct pmatrix. Die Länge von p' im Quadrat ist somit p^prime gamma^leftct-beta x^-x-beta ct^right. Durch ausmultiplizieren erhalten wir: p^prime c^t^gamma^-beta^ - x^gamma^-beta^ c^t^ - x^ p^ da gamma^ -beta^ ist. item Für die Koordinaten des Ereignisses P im System S' gilt ct_' gamma ct_ -beta x_ und x_' gamma x_ -beta ct_. item Die Menge aller Ereignisse M die im System S gleichzeitig mit P stattfinden befinden sich auf einer Linie parallel zur x-Achse die durch den Punkt P führt vgl. Abb. unten. item Die Menge aller Ereignisse M' die im System S' gleichzeitig mit P stattfinden befinden sich auf einer Linie parallel zur x'-Achse die durch den Punkt P führt vgl. Abb. unten. item Die Menge aller Ereignisse Q die vom Ursprung den selben Abstand sqrtp^ haben befinden sich auf Hyperbel p^ c^t^-x^ myRarrow ct sqrtp^+x^ vgl. Abb. unten. enumerate center tikzpicturescale. %Helplines %draw step.colorgray! -- grid ; % Koordinatensystem S draw thick- -- node right x; draw thick- -- node above ct; % Koordinatensystem S' draw thick- -- node above ct'; draw thick- -- .. node right x'; % Lichtsignale draw Dandelion -- ; % Winkel draw thick . arc :.:.cm; node at . fns alpha; % Winkel draw thick . arc :-.:.cm; node at . fns alpha; % M draw gruenthick . -- . node right M; % M' draw bluethick .. -- ++ node right M'; % Q draw domain:redthick plotidSRT_Q samples xsqrt.+x*x noderight Q; % Punkt P und Abstand p draw fillredred .. circle .mm node above P; tikzpicture center