Exercise
https://texercises.com/exercise/monotonie-und-dreiecksungleichung-des-mehrdimensionalen-riemann-integrals/
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Exercise:
Sei Q ein abgeschlossener Quader. Für zwei R-bare Funktionen f_f_:Qrightarrow mathbbR gelten folge MonotoniEigenschaften: abcliste abc Falls f_geq ist so gilt _Qf_ textdvolgeq . abc Falls f_leq f_ ist so gilt _Qf_ textdvolleq _Qf_ textdvol. abc Die Funktion |f_|:Qrightarrow mathbbR ist R-bar und es gilt die Dreiecksungleichung left| _Qf_ textdvolright| leq _Q|f_| textdvol. abcliste

Solution:
Beweis. Die erste Aussage a folgt direkt aus leq _Q_alphasqsubset zetatextinff_Q_alphatextvolQ_alphaUf_zeta für eine beliebige Zerlegung zeta von Q. Weiter folgt b nach Betrachtung von f_-f_ und Anwung von a und Linearität des R-Integrals Proposition .. Für c zeigt man dass f_^+textmaxf_ R-bar ist. Daraus folgt dann dass |f_|f_^+-f_ nach Linearität ebenfalls R-bar ist und _Q f_ textdvol leq _Q|f_| textdvol was mit der analogen Aussage für -f_ die Proposiiton beweist. Die Eigenschaften der Abbildung sin mathbbRmapsto s^+textmaxs Monotonie und Stetigkeit würden hierfür genügen implizieren dass textsupx^+| xin AtextsupA^+ und textinfx^+| xin AtextinfA^+ für jede nichtleere beschränkte Teilmenge Asubseteq mathbbR. Dies impliziert des Weiteren Of_^+zeta-Uf_^+zeta leq Of_zeta-Uf_zeta für jede Zerlegung zeta von Q womit R-Intbarkeit von f_^+ aus Proposition . folgt.
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Exercise:
Sei Q ein abgeschlossener Quader. Für zwei R-bare Funktionen f_f_:Qrightarrow mathbbR gelten folge MonotoniEigenschaften: abcliste abc Falls f_geq ist so gilt _Qf_ textdvolgeq . abc Falls f_leq f_ ist so gilt _Qf_ textdvolleq _Qf_ textdvol. abc Die Funktion |f_|:Qrightarrow mathbbR ist R-bar und es gilt die Dreiecksungleichung left| _Qf_ textdvolright| leq _Q|f_| textdvol. abcliste

Solution:
Beweis. Die erste Aussage a folgt direkt aus leq _Q_alphasqsubset zetatextinff_Q_alphatextvolQ_alphaUf_zeta für eine beliebige Zerlegung zeta von Q. Weiter folgt b nach Betrachtung von f_-f_ und Anwung von a und Linearität des R-Integrals Proposition .. Für c zeigt man dass f_^+textmaxf_ R-bar ist. Daraus folgt dann dass |f_|f_^+-f_ nach Linearität ebenfalls R-bar ist und _Q f_ textdvol leq _Q|f_| textdvol was mit der analogen Aussage für -f_ die Proposiiton beweist. Die Eigenschaften der Abbildung sin mathbbRmapsto s^+textmaxs Monotonie und Stetigkeit würden hierfür genügen implizieren dass textsupx^+| xin AtextsupA^+ und textinfx^+| xin AtextinfA^+ für jede nichtleere beschränkte Teilmenge Asubseteq mathbbR. Dies impliziert des Weiteren Of_^+zeta-Uf_^+zeta leq Of_zeta-Uf_zeta für jede Zerlegung zeta von Q womit R-Intbarkeit von f_^+ aus Proposition . folgt.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, fs23, integralrechnung, mehrdimensional, monotonie, riemann
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
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