Monotonie und Dreiecksungleichung des mehrdimensionalen Riemann-Integrals
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
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Exercise:
Sei Q ein abgeschlossener Quader. Für zwei R-bare Funktionen f_f_:Qrightarrow mathbbR gelten folge MonotoniEigenschaften: abcliste abc Falls f_geq ist so gilt _Qf_ textdvolgeq . abc Falls f_leq f_ ist so gilt _Qf_ textdvolleq _Qf_ textdvol. abc Die Funktion |f_|:Qrightarrow mathbbR ist R-bar und es gilt die Dreiecksungleichung left| _Qf_ textdvolright| leq _Q|f_| textdvol. abcliste
Solution:
Beweis. Die erste Aussage a folgt direkt aus leq _Q_alphasqsubset zetatextinff_Q_alphatextvolQ_alphaUf_zeta für eine beliebige Zerlegung zeta von Q. Weiter folgt b nach Betrachtung von f_-f_ und Anwung von a und Linearität des R-Integrals Proposition .. Für c zeigt man dass f_^+textmaxf_ R-bar ist. Daraus folgt dann dass |f_|f_^+-f_ nach Linearität ebenfalls R-bar ist und _Q f_ textdvol leq _Q|f_| textdvol was mit der analogen Aussage für -f_ die Proposiiton beweist. Die Eigenschaften der Abbildung sin mathbbRmapsto s^+textmaxs Monotonie und Stetigkeit würden hierfür genügen implizieren dass textsupx^+| xin AtextsupA^+ und textinfx^+| xin AtextinfA^+ für jede nichtleere beschränkte Teilmenge Asubseteq mathbbR. Dies impliziert des Weiteren Of_^+zeta-Uf_^+zeta leq Of_zeta-Uf_zeta für jede Zerlegung zeta von Q womit R-Intbarkeit von f_^+ aus Proposition . folgt.
Sei Q ein abgeschlossener Quader. Für zwei R-bare Funktionen f_f_:Qrightarrow mathbbR gelten folge MonotoniEigenschaften: abcliste abc Falls f_geq ist so gilt _Qf_ textdvolgeq . abc Falls f_leq f_ ist so gilt _Qf_ textdvolleq _Qf_ textdvol. abc Die Funktion |f_|:Qrightarrow mathbbR ist R-bar und es gilt die Dreiecksungleichung left| _Qf_ textdvolright| leq _Q|f_| textdvol. abcliste
Solution:
Beweis. Die erste Aussage a folgt direkt aus leq _Q_alphasqsubset zetatextinff_Q_alphatextvolQ_alphaUf_zeta für eine beliebige Zerlegung zeta von Q. Weiter folgt b nach Betrachtung von f_-f_ und Anwung von a und Linearität des R-Integrals Proposition .. Für c zeigt man dass f_^+textmaxf_ R-bar ist. Daraus folgt dann dass |f_|f_^+-f_ nach Linearität ebenfalls R-bar ist und _Q f_ textdvol leq _Q|f_| textdvol was mit der analogen Aussage für -f_ die Proposiiton beweist. Die Eigenschaften der Abbildung sin mathbbRmapsto s^+textmaxs Monotonie und Stetigkeit würden hierfür genügen implizieren dass textsupx^+| xin AtextsupA^+ und textinfx^+| xin AtextinfA^+ für jede nichtleere beschränkte Teilmenge Asubseteq mathbbR. Dies impliziert des Weiteren Of_^+zeta-Uf_^+zeta leq Of_zeta-Uf_zeta für jede Zerlegung zeta von Q womit R-Intbarkeit von f_^+ aus Proposition . folgt.
Meta Information
Exercise:
Sei Q ein abgeschlossener Quader. Für zwei R-bare Funktionen f_f_:Qrightarrow mathbbR gelten folge MonotoniEigenschaften: abcliste abc Falls f_geq ist so gilt _Qf_ textdvolgeq . abc Falls f_leq f_ ist so gilt _Qf_ textdvolleq _Qf_ textdvol. abc Die Funktion |f_|:Qrightarrow mathbbR ist R-bar und es gilt die Dreiecksungleichung left| _Qf_ textdvolright| leq _Q|f_| textdvol. abcliste
Solution:
Beweis. Die erste Aussage a folgt direkt aus leq _Q_alphasqsubset zetatextinff_Q_alphatextvolQ_alphaUf_zeta für eine beliebige Zerlegung zeta von Q. Weiter folgt b nach Betrachtung von f_-f_ und Anwung von a und Linearität des R-Integrals Proposition .. Für c zeigt man dass f_^+textmaxf_ R-bar ist. Daraus folgt dann dass |f_|f_^+-f_ nach Linearität ebenfalls R-bar ist und _Q f_ textdvol leq _Q|f_| textdvol was mit der analogen Aussage für -f_ die Proposiiton beweist. Die Eigenschaften der Abbildung sin mathbbRmapsto s^+textmaxs Monotonie und Stetigkeit würden hierfür genügen implizieren dass textsupx^+| xin AtextsupA^+ und textinfx^+| xin AtextinfA^+ für jede nichtleere beschränkte Teilmenge Asubseteq mathbbR. Dies impliziert des Weiteren Of_^+zeta-Uf_^+zeta leq Of_zeta-Uf_zeta für jede Zerlegung zeta von Q womit R-Intbarkeit von f_^+ aus Proposition . folgt.
Sei Q ein abgeschlossener Quader. Für zwei R-bare Funktionen f_f_:Qrightarrow mathbbR gelten folge MonotoniEigenschaften: abcliste abc Falls f_geq ist so gilt _Qf_ textdvolgeq . abc Falls f_leq f_ ist so gilt _Qf_ textdvolleq _Qf_ textdvol. abc Die Funktion |f_|:Qrightarrow mathbbR ist R-bar und es gilt die Dreiecksungleichung left| _Qf_ textdvolright| leq _Q|f_| textdvol. abcliste
Solution:
Beweis. Die erste Aussage a folgt direkt aus leq _Q_alphasqsubset zetatextinff_Q_alphatextvolQ_alphaUf_zeta für eine beliebige Zerlegung zeta von Q. Weiter folgt b nach Betrachtung von f_-f_ und Anwung von a und Linearität des R-Integrals Proposition .. Für c zeigt man dass f_^+textmaxf_ R-bar ist. Daraus folgt dann dass |f_|f_^+-f_ nach Linearität ebenfalls R-bar ist und _Q f_ textdvol leq _Q|f_| textdvol was mit der analogen Aussage für -f_ die Proposiiton beweist. Die Eigenschaften der Abbildung sin mathbbRmapsto s^+textmaxs Monotonie und Stetigkeit würden hierfür genügen implizieren dass textsupx^+| xin AtextsupA^+ und textinfx^+| xin AtextinfA^+ für jede nichtleere beschränkte Teilmenge Asubseteq mathbbR. Dies impliziert des Weiteren Of_^+zeta-Uf_^+zeta leq Of_zeta-Uf_zeta für jede Zerlegung zeta von Q womit R-Intbarkeit von f_^+ aus Proposition . folgt.
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