Nicht-Nullmengen
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Exercise:
Ein Quader Qsubseteq mathbbR^n mit nicht-leerem Inneren ist keine Nullmenge im mathbbR^n.
Solution:
Beweis. Angenommen Qa_b_times ...times a_nb_n ist ein abgeschlossener Quader definiert durch a_ b_...a_n b_n. Dann ist Q nach dem Satz von HeinBorel Satz . kompakt. Falls nun Q eine Nullmenge ist dann existieren offene Quader O_O_... im mathbbR^n mit Qsubseteq bigcup_l^inftyO_l quad _l^inftytextvolO_l fractextvolQ. Nach Satz . Kompaktheit äquivalent zu abzählbarer Überdeckungskompaktheit existiert dann aber auch ein min mathbbN mit Qsubseteq bigcup_l^mO_l quad _l^mtextvolO_l fractextvolQ. Man definiert die Quader Q_loverlineO_lcap Q für alle lin ...m weiter um eine Zerlegung von Q zu erhalten. Genauer lässt sich für jedes kin ...n eine Zerlegung zeta_k von a_kb_k durch Anordnen der Punkte a_kb_k...a_mkb_mk definieren. Damit ist zeta zeta_...zeta_n eine Zerlegung von Q. Nach obiger Gleichung gilt textvolQ _Q_alphasqsubset zetatextvolQ_alpha. Per Definition der Zerlegung zeta ist jeder der zetta entsprechen Quader Q_alphasqsubset zeta in einem der Quader Q_l enthalten. Sammelt man nun alle Quader Q_alpha zusammen die in einem Quader Q_l enthalten sind so ergibt sich nach der Additionsformel _Q_alphasqsubset zeta Q_alphasubseteq Q_l textvolQ_alpha. Summiert man nun über l...m so ergibt sich textvolQsubseteq _l^mtextvolQ_l wobei im Allgemeinen nur eine Ungleichung gilt da ein Q_alphasqsubset zeta möglicherweise in mehreren der Quader Q_l liegen kann. Dies widerspricht aber einer obigen Gleichung. Falls nun Q ein Quader im mathbbR^n mit nichtleerem Inneren ist so gibt es einen abgeschlossenen Quader Q'subseteq Q mit nichtleerem Inneren. Nach Obigem ist dann Q' keine Nullmenge und Lemma . zeigt dass auch Q keine Nullmenge sein kann.
Ein Quader Qsubseteq mathbbR^n mit nicht-leerem Inneren ist keine Nullmenge im mathbbR^n.
Solution:
Beweis. Angenommen Qa_b_times ...times a_nb_n ist ein abgeschlossener Quader definiert durch a_ b_...a_n b_n. Dann ist Q nach dem Satz von HeinBorel Satz . kompakt. Falls nun Q eine Nullmenge ist dann existieren offene Quader O_O_... im mathbbR^n mit Qsubseteq bigcup_l^inftyO_l quad _l^inftytextvolO_l fractextvolQ. Nach Satz . Kompaktheit äquivalent zu abzählbarer Überdeckungskompaktheit existiert dann aber auch ein min mathbbN mit Qsubseteq bigcup_l^mO_l quad _l^mtextvolO_l fractextvolQ. Man definiert die Quader Q_loverlineO_lcap Q für alle lin ...m weiter um eine Zerlegung von Q zu erhalten. Genauer lässt sich für jedes kin ...n eine Zerlegung zeta_k von a_kb_k durch Anordnen der Punkte a_kb_k...a_mkb_mk definieren. Damit ist zeta zeta_...zeta_n eine Zerlegung von Q. Nach obiger Gleichung gilt textvolQ _Q_alphasqsubset zetatextvolQ_alpha. Per Definition der Zerlegung zeta ist jeder der zetta entsprechen Quader Q_alphasqsubset zeta in einem der Quader Q_l enthalten. Sammelt man nun alle Quader Q_alpha zusammen die in einem Quader Q_l enthalten sind so ergibt sich nach der Additionsformel _Q_alphasqsubset zeta Q_alphasubseteq Q_l textvolQ_alpha. Summiert man nun über l...m so ergibt sich textvolQsubseteq _l^mtextvolQ_l wobei im Allgemeinen nur eine Ungleichung gilt da ein Q_alphasqsubset zeta möglicherweise in mehreren der Quader Q_l liegen kann. Dies widerspricht aber einer obigen Gleichung. Falls nun Q ein Quader im mathbbR^n mit nichtleerem Inneren ist so gibt es einen abgeschlossenen Quader Q'subseteq Q mit nichtleerem Inneren. Nach Obigem ist dann Q' keine Nullmenge und Lemma . zeigt dass auch Q keine Nullmenge sein kann.