Notwendige Eigenschaften Kompaktheit
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Exercise:
Eine folgenkompakte Teilmenge eines nicht-leeren metrischen Raumes ist abgeschlossen und beschränkt Umkehrung falsch.
Solution:
Beweis. Sei X ein nicht-leerer metrischer Raum und Ksubseteq X folgenkompakt. Sei x_n_n eine Folge in K mit Grenzwert xin X. Nach Definition . existiert eine in K konvergente Teilfolge von x_n_n. Da eine Teilfolge einer konvergenten Folge denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Folge besitzt muss also x in K liegen. Nach der Charakterisierung abgeschlossener Teilmengen aus Lemma . ist K abgeschlossen. Sei nun x_in X ein beliebiger Punkt und angenommen K ist nicht beschränkt. Dann gibt es für jedes nin mathbbN ein x_nin K mit dx_nx_geq n. Da K folgenkompakt ist existiert nun eine in K konvergente Teilfolge x_n_l_l der Folge x_n_n. Sei xin K ihr Grenzwert. Insbesondere gibt es zu epsilon ein Lin mathbbN s.d. dx_n_lx für alle lgeq L gilt. Damit ist aber für lgeq L n_lleq textdx_n_lx_leq textdx_n_lx_ +textdxx_. Dies ist ein Widerspruch da n_lrightarrow infty für lrightarrow infty und somit ist K beschränkt.
Eine folgenkompakte Teilmenge eines nicht-leeren metrischen Raumes ist abgeschlossen und beschränkt Umkehrung falsch.
Solution:
Beweis. Sei X ein nicht-leerer metrischer Raum und Ksubseteq X folgenkompakt. Sei x_n_n eine Folge in K mit Grenzwert xin X. Nach Definition . existiert eine in K konvergente Teilfolge von x_n_n. Da eine Teilfolge einer konvergenten Folge denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Folge besitzt muss also x in K liegen. Nach der Charakterisierung abgeschlossener Teilmengen aus Lemma . ist K abgeschlossen. Sei nun x_in X ein beliebiger Punkt und angenommen K ist nicht beschränkt. Dann gibt es für jedes nin mathbbN ein x_nin K mit dx_nx_geq n. Da K folgenkompakt ist existiert nun eine in K konvergente Teilfolge x_n_l_l der Folge x_n_n. Sei xin K ihr Grenzwert. Insbesondere gibt es zu epsilon ein Lin mathbbN s.d. dx_n_lx für alle lgeq L gilt. Damit ist aber für lgeq L n_lleq textdx_n_lx_leq textdx_n_lx_ +textdxx_. Dies ist ein Widerspruch da n_lrightarrow infty für lrightarrow infty und somit ist K beschränkt.